«Управление и Оптимизация Производственного Предприятия»

Представляет интерес сравнение эффективности применения анализа устойчивости и других методов оптимизации с учетом неопределенности при решении практических задач. Одним из примеров применения анализа устойчивости является решение задачи определения оптимальной по условно-переменным затратам нагрузки генерирующих мощностей энергосистемы ОАО «Самараэнерго». Иными словами, с какой средней мощностью должны работать ТЭЦ энергосистемы для достижения минимально возможного уровня условно-переменных затрат.

Задача минимизации условно-переменных затрат была поставлена и решена в 1999 г. исследовательской группой Поволжского отделения Российской инженерной академии [9], и внедрение ее решения показывает свою потенциальную эффективность, хотя нуждается в некоторой отладке. Однако оказалось, что полученное решение довольно чувствительно к изменению входных параметров и поэтому в ряде случаев может быть далеко от действительно оптимального. Поэтому было решено исследовать возможности учета неопределенности ситуации принятия решения с целью их использования при дальнейших усовершенствованиях постановки исходной задачи.

Основные причины неопределенности вышеуказанных параметров состоят в следующем:
- Измерительные и контрольные приборы работают с ошибками;
- Расчет удельного потребления топлива производится по модели, параметры которой имеют среднеквадратическую ошибку, так как являются результатами аппроксимации опытных данных;
- Величина топливной составляющей затрат зависит от трудно предсказуемой конъюнктуры рынка;
- Сказывается слабая предсказуемость действий поставщиков топлива по установлению квот потребления различных его видов.

Задача оптимального планирования нагрузки генерирующих мощностей энергосистемы с учетом неопределенности, как представляется, в общих чертах состоит в следующем: необходимо улучшить качество решения, сделать его как можно более универсальным, подходящим для любой потенциально возможной ситуации, разумеется, в той мере, в какой это возможно сделать. Более глубокий анализ ситуации с условно-переменными затратами в энергосистеме приводит к уточненной постановке задачи: необходимо отыскать такое распределение нагрузок между генерирующими мощностями, которое бы учитывало возможные отклонения фактических значений параметров энергосистемы от расчетных таким образом, чтобы фактическое значение условно-переменных затрат было бы максимально близко к теоретически оптимальному в сложившейся ситуации.

Условно-переменные затраты энергосистемы включают в себя три элемента: затраты на оплату энергии, покупаемой у внешних поставщиков (З_Э), затраты на оплату мощности, резервируемой у внешних поставщиков (З_М), и стоимость топлива, затраченного на выработку электроэнергии и мощности на генерирующих мощностях энергосистемы (З_Т). Стоимость энергии, закупаемой у внешних поставщиков, определяется по формуле:

                                            (8.1)

где С_Э – стоимость 1 МВт энергии, Е^Ф – величина сальдо-перетока энергии (количество энергии, кторое закупается у внешних поставщиков). Наличие знака «минус» обусловлено тем, что сальдо-переток рассчитывается как разность выработки и потребления. Оплата сальдо-перетока мощности рассчитывается по формуле:

                                 (8.2)

где С_М – стоимость 1МВт резервируемой мощности, W^Ф – величина сальдо-перетока мощности, Е_потр – потребление электроэнергии за заданный временной период Т (в часах), K^m – коэффициент заполнения графика выработки энергосистемы в целом по среднему максимуму потребляемой мощности, g – коэффициент резервирования мощности*. Топливная составляющая затрат рассчитывается по формуле:

                                     (8.3)

где С_T,i – средняя за период стоимость 1 тонны удельного топлива, b_i – расход условного топлива в тоннах на выработку 1 МВт мощности, W^m_i – рабочая мощность i-й ТЭЦ (или генерирующей мощности другого вида), точнее, среднее ее значение за рассматриваемый период. Учитывая, что

                                     (8.4)

после элементарных алгебраических преобразований получаем формулу расчета условно-переменных затрат энергосистемы:

            (8.5)

Зависимость величины удельного расхода топлива на выработку единицы электроэнергии на каждой ТЭЦ от режима ее работы аппроксимирована зависимостью вида:

                                       (8.6)*

где Q_i – тепловая выработка на i-й ТЭЦ за период планирования, c_i, d_i – параметры аппроксимации, которые определяются методом наименьших квадратов.

Управляемыми переменными в вышеприведенной функции условно-переменных затрат являются только рабочие мощности ТЭЦ, W^m_i. Очевидно, что оптимальным решением без учета неопределенности некоторых параметров энергосистемы будет то, которое доставляет минимум приведенной выше функции затрат с учетом ограничений на допустимые значения рабочих мощностей. Теперь представляется интересным исследовать изменение структуры оптимального решения под влиянием неопределенности. Примем за неопределенные параметры стоимость единицы условного топлива и удельный расход топлива на выработку электроэнергии на каждой из рассматриваемых при решении задачи ТЭЦ энергосистемы. Примем также, что стоимость 1 тонны условного топлива имеет равномерное распределение**, а удельный расход топлива на выработку 1 МВт электроэнергии имеет нормально распределение***. Укажем три вида критериев оптимальности и в соответствии с приведенными критериями исследуем три варианта постановки задачи оптимального планирования нагрузок внутри энергосистемы с учетом неопределенности:

1). Минимум условно-переменных затрат при «наихудших» из возможных значениях неопределенных параметров.

   (8.7)

Этот вид критерия наиболее целесообразно применять в том случае, если присутствует тенденция в динамике изменения тех или иных параметров, и руководство хочет «застраховаться» от ее негативных последствий, получив и внедрив решение, которое будет оптимальным в наихудшей ситуации. Например, известно, что цена единицы условного топлива скорее всего возрастет, а вероятность ее падения крайне низка. Поэтому при планировании может быть использовано не ожидаемое ее значение, полученное, например, методами статистического прогнозирования, а верхняя граница ее доверительного интервала, т.е. наибольшее из тех ее значений, которые оцениваются как возможные. В данной постановке задача решается в системе ограничений, накладываемых на рабочие мощности ТЭЦ: они должны быть не больше максимально возможных (W_i^max) и не меньше минимально возможных (W_i^min) в сложившихся условиях технического водоснабжения, теплового потребления, паропроизводительности, параметров пара и прочих технических условиях. На управляемые переменные могут накладываться и другие ограничения, вида

                               (8.8)

описывающие влияние диспетчерской или другой координирующей структуры, стоящей над рассматриваемой энергосистемой. При выбранной модели удельного расхода топлива задача может быть решена двойственным симплекс-методом, хорошо исследованным и описанным, а также сравнительно легко реализуемым в виде компьютерной программы. Если задача решается только в системе ограничений, накладываемых на рабочую мощность каждой ТЭЦ в отдельности или ограничение на суммарную энергию, производимую системой, не является «активным», она легко декомпозируется на n задач с одной переменной, решениями которых являются соответствующие W_i^min, если коэффициенты, стоящие при них в целевой функции положительны, или W_i^max, в противном случае.

2). Взвешенная сумма частных производных функции условно-переменных затрат от рабочих мощностей ТЭЦ, взятых по неопределенным параметрам:

                              (8.9)

где a _i, b _i – весовые коэффициенты. Частные производные берутся в точке, координаты которой совпадают с ожидаемыми значениями соответствующих параметров.

Этот критерий можно применять для повышения стабильности работы энергосистемы в будущих периодах, когда желательно составить такой план, при котором условно-переменные затраты будут в наименьшей степени варьироваться из-за непредсказуемых отклонений параметров энергосистемы. То есть, в результате применения данного критерия может быть получено наименее чувствительное к изменениям параметров энергосистемы решение. Так как это решение может сильно отличаться от оптимального по критерию условно-переменных затрат как при ожидаемых, так и при фактических значениях данных параметров, его использование должно сопровождаться вводом дополнительного ограничения на величину ожидаемых затрат, чтобы избежать получение наиболее устойчивого, но слишком дорогостоящего решения. Для получения такого ограничения можно использовать решение, оптимальное без учета неопределенности, по критерию минимума ожидаемых условно-переменных затрат. Ограничением на максимально допустимую величину ожидаемых условно-переменных затрат может быть, например ожидаемое значение затрат при оптимальном без учета неопределенности решении, увеличенное на 0,1-0,8%, т.е.

  (8.10)

Параметр l выбирается в зависимости от того, насколько ценится стабильность результата принятого решения в сравнении с квазиоптимальным результатом, основанном на предварительной информации. Кроме указанного ограничения действуют ограничения на минимально и максимально возможные значения рабочих мощностей, а также возможно использование ограничений на суммарный выпуск энергии всей системой. Задача решается двойственным симплекс-методом.

Весовые коэффициенты a _i, b _i выбираются пропорционально мере неопределенности соответствующего параметра. В качестве такой меры может выступать, например, среднеквадратическое отклонение или коэффициент, ему пропорциональный. В нижеследующих расчетах в качестве весовых коэффициентов для частных производных по стоимостям 1 т условного топлива брались их среднеквадратические отклонения, оцененные как разности между верхней и нижней границами соответствующих доверительных интервалов, деленные на 12, умноженные на 5%-ый квантиль распределения Стьюдента при 34 степенях свободы (использовались наблюдения за 3 предыдущих года, т.е. за 36 месяцев, а число степеней свободы рассчитывается как число наблюдений минус два). Весовые коэффициенты для параметров удельного расхода топлива рассчитывались как среднеквадратические ошибки аппроксимации исходных данных линейной моделью, умноженные на 5%-ый квантиль распределения Стьюдента при 34 степенях свободы. Весовые коэффициенты определялись таким образом для того, чтобы учесть неопределенность каждого параметра индивидуально и его влияние на чувствительность функции условно-переменных затрат.

3). Вероятность достижения желаемого или приемлемого уровня условно-переменных затрат (устойчивость относительно поставленной цели):

           (8.11)

Обозначив для компактности записи   и записав критерий в форме, позволяющей применить метод анализа устойчивости, после преобразований получим:

   (8.12)

где  _.

Этот критерий наиболее универсален в применении и может применяться как альтернатива в двух вышеописанных случаях. Он также наиболее адекватен содержанию ситуации неопределенности, когда параметрами оптимизационной задачи должны быть не конкретные числа, а случайные величины, описываемые своими функциями распределения. Здесь действуют ограничения на верхние и нижние пределы рабочих мощностей.

Если задачи по двум первым критериям могут быть решены простым симплекс-методом, то для решения задачи по третьему из рассматриваемых критериев не подходит не только симплекс-метод, но и более сложные и многофункциональные – градиентные – методы. Поэтому предлагается метод решения задачи по данному критерию, основанный на эвристическом подходе к оптимизации. По своей сущности метод принадлежит к классу генетических алгоритмов оптимизации, с изменениями, учитывающим специфику задачи. Генетическими алгоритмами называют класс методов оптимизации, работающих в случаях, когда применение классических градиентных методов оптимизации сильно затруднено или невозможно. Их функционирование основывается на эволюционном принципе естественного отбора и заключается в отборе среди возможных вариантов решения наиболее «живучих», причем степень «живучести» варианта решения прямо пропорциональна значению целевой функции при подстановки данного решения.

При использовании генетического алгоритма, каждое решение представляет собой вектор w переменных оптимизации – «хромосому», состоящую из N генов, w = íw_iý. Каждой хромосоме соответствует оценочная функция F(w) – целевая функция задачи, преобразованная таким образом, что F(w)®max и F(w)³0 для всех w, лежащих внутри области допустимых решений задачи. На первой итерации генетического алгоритма случайным образом формируется начальная популяция “хромосом” численностью M единиц, для каждой из которой рассчитывается значение F(w). Затем «хромосомы» из начальной популяции отбираются пропорционально своей относительной «живучести», т.е. вероятность отбора хромосомы w_j равна

 .                                    (8.13)

Затем к отобранным таким образом «хромосомам» применяются с заданными вероятностями последовательно применяются операторы рекомбинации –  «скрещивание» и «мутацию». Результат скрещивания «хромосом» wk и wlпредставляют собой «хромосомы» w*k и w*l, рассчитываемые как

                                 (8.14)

где а – случайное число из интервала [0...1].

Результат «мутации» «гена» i хромосомы w_k представляет собой «хромосому»

                     (8.15)

Затем происходит отбор «хромосом» из популяции, измененной с помощью операторов рекомбинации по описанному выше принципу, и операторы рекомбинации применяются снова. Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока не будет достигнут гомеостазис – такое состояние популяции, при котором оценочные функции всех «хромосом» примерно равны.

Генетические алгоритмы различаются между собой параметрами (вероятностями применения различных операторов рекомбинации), а также видом операторов рекомбинации, особенностями отбора «хромосом» и др. Математическое обоснование данной группе методов дает теорема Холланда о схемате (Schemata Theorem) [5, pp. 93-94, 100, 102], согласно которой свойства решения «записаны» в виде совокупности значений «генов» в хромосомах и лучшие свойства могут воспроизводиться от популяции к популяции, и теорема Банаха о фиксированной точке (Banach’sfixpoint Theorem) [7, pp. 66-69], согласно которой последовательность итераций генетического алгоритма сходится к определенной точке (оптимуму) вне зависимости от совокупности «хромосом» в начальной популяции, если среднее значение оценочной функции не убывает от популяции к популяции.

Применительно к поставленной задаче был разработан вариант генетического алгоритма, включающий в себя следующие этапы.

1.     Обозначим rnorm_i(C_T,i, R) совокупность R случайных чисел, распределенную по нормальному закону с параметрами: математическое ожидание  и среднеквадратическое отклонение   , и rnorm_i(b_i, R) совокупность Rслучайных чисел, распределенную по нормальному закону с параметрами: математическое ожидание   и среднеквадратическое отклонение   .     

2. Целевую функцию вида (8.11) преобразуем в

                                       (8.16)

где

 (8.17)

Эта функция и будет оценочной, т.к. для нее выполняются все необходимые условия.

3. Генерирование начальной популяции в количестве М «хромосом» происходит следующим образом:

М1 единиц генерируется по формуле:

                                    (8.18)

М2 = М – М1 единиц генерируются по формуле

                        (8.19)

4. По формуле (8.13) рассчитываются вероятности отбора каждой «хромосомы» из начальной популяции. Затем строится интегральная функция распределения вероятностей отбора:

                           (8.20)

Из интервала [0...1] М раз генерируется случайное число а. Если F(wj-1)£a£F(wj), то j-я «хромосома» выбирается из начальной популяции. Таким образом организуется отбор «хромосом» пропорционально их относительной «живучести».

5. К отобранным «хромосомам» из начальной популяции в приведенной ниже последовательности применяются следующие операторы рекомбинации:

5.1. Случайное арифметическое «скрещивание». Результат данного вида «скрещивания» «хромосом» wk и wlпредставляют собой «хромосомы» w*k и w*l, рассчитываемые как

                               (8.21)

где а – случайное число из интервала [0...1].

5.2. Случайное «скрещивание». Результат случайного «скрещивания» «хромосом» wk и wl представляют собой «хромосомы» w*k и w*l, рассчитываемые как

                                      (8.22)

где

                         (8.23)

5.3. Случайная нерегулируемая «мутация». Для каждого «гена», wij, выбранного для «мутации», генерируется случайное число аij. Если aij <= 0.5, результатом «мутации» будет «ген» wminij; в противном случае резульатом “мутации” будет “ген” wmaxij.

5.4. Случайная pегулируемая «мутация». Результатом «мутации» «гена» wij будет «ген» w*ij, который рассчитывается по формуле:

                (8.24)

где

                                  (8.25)

где t – номер текущей итерации, T* – общее число итераций, b – задаваемый пользователем параметр, отражающий степень учета «возраста» популяции при применении оператора случайной регулируемой мутации.

Каждый оператор имеет вероятность своего применения. При умножении численности популяции на вероятность применения оператора «скрещивания» получается ожидаемое число «хромосом», которые будут подвергнуты «скрещиванию»; при умножении численности популяции на число «генов» в «хромосоме» и на вероятность применения оператора «мутации» получается ожидаемое число «генов», которые будут подвергнуты «мутации». Поэтому вероятности применения различных операторов рекомбинации выбираются таким образом, чтобы обеспечить разумный баланс между разнообразием, вносимым в популяцию, и сохранением выгодных качеств отдельных «хромосом»; хотя ответ на вопрос о  выборе вероятности применения различных операторов получается путем исследования следствий теоремы о схемате применительно к конкретной задаче. Применительно к данной задаче рекомендуется подбирать вероятности применения «скрещивания» таким образом, чтобы в сумме они составляли 0,3-0,35, а вероятности «мутации» подбирать так, чтобы в сумме они составляли 0,03-0,05.

Отбор «хромосом» для «скрещивания» происходит путем генерирования случайного числа аj для каждой «хромосомы». Если а_j окажется меньшим или равным вероятности применения оператора “скрещивания” (случайного или случайного арифметического «скрещивания»), «хромосома» w_j отбирается для «скрещивание». Если число «хромосом», отобранных для «скрещивания» нечетно, то из популяции случайным образом выбирается еще одна «хромосома» для парности. Затем отобранные «хромосомы» выстраиваются по возрастанию индекса j, и соседние «хромосомы» скрещиваются. «Скрещенные» «хромосомы» помещаются в исходную популяцию, а затем применяются операторы «мутации».

Отбор «генов» для «мутации» происходит путем генерирования случайного числа а_ij для каждого «гена». Если а_ijокажется меньшим или равным вероятности применения оператора “мутации” (случайной регулируемой или нерегулируемой «мутации»), «ген» w_ij отбирается для «мутации». «Хромосомы» с «мутировавшими» «генами» помещаются в исходную популяцию. Затем из исходной популяции отбирается столько «хромосом», имеющих наименьшие значения оценочной функции, чтобы восстановить ее исходный размер, и для полученной вновь популяции применяются все указанные стадии алгоритма. Процесс повторяется Т* раз. Оптимальным считается решение, доставляющее максимум оценочной функции.

Имеют место следующие примечания:

1. Для выполнения условий теоремы Банаха, рекомендуется считать только те итерации, на которых наблюдается, по крайней мере, не уменьшение среднего значения оценочной функции, т.е. если после применения операторов рекомбинации среднее значение оценочной функции уменьшилось, следует снова применить операторы рекомбинации.

2. Для повышения быстроты сходимости генетического алгоритма можно регулировать вероятность применения различных операторов в зависимости от номера текущей итерации, t. Так, в работе Л. Дэвиса [3, pp. 50-51] рекомендуется уменьшать вероятность «скрещивания»  и увеличивать вероятность «мутации». Предлагается рассчитывать вероятности применения операторов рекомбинации в зависимости от t следующим образом:

                                   (8.26)

где p_T и p₁ – вероятности применения оператора рекомбинации, соответственно, в конце и начале итерационного процесса.

Для получения экспериментальных результатов был создан программный модуль, позволяющий применять предложенный метод. Используемые параметры генетического алгоритма и исходные численные данные для получения решения приведены в Т а б л и ц а х  8.1, 8.2.

Т а б л и ц а 8.1

Используемые параметры генетического алгоритма

Т а б л и ц а 8.2

Исходные данные для получения решения (август 1999 г.)

В Т а б л и ц е 8.3 приведены результаты решения задачи в сравнении с результатами решения по критерию минимума условно-переменных затрат. Приняты следующие обозначения: C_T,i^факт. – фактическая стоимость 1 тонны условного топлива на i-й ТЭЦ; w^факт – фактические значения рабочих мощностей*; w* – решение задачи оптимального распределения нагрузки без учета неопределенности, w(7) – решение задачи, оптимальное по критерию (8.7), w(9) – решение задачи, оптимальное по критерию (8.9), w(ГА) – решение задачи, найденное путем применения разработанного генетического алгоритма; З(w^факт) – фактические условно-переменные затраты; З(w^*) – фактические условно-переменные затраты при подстановке решения, оптимального без учета неопределенности; З(w(7,9)) – фактические условно-переменные затраты при подстановке решений, оптимальных, соответственно, по критериям (8.7) и (8.9); З(w(ГА)) – фактические условно-переменные затраты при подстановке решения, найденного путем применения разработанного генетического алгоритма. Значения рабочих мощностей даны в МВт, фактические стоимости 1 т условного топлива даны в рублях, фактические затраты – в млн руб.

Данные Т а б л и ц ы 8.3 показывают, что с учетом неопределенности происходит хоть небольшое, но улучшение качества планирования, что выражается уменьшением фактических условно-переменных затрат, рассчитанных по формуле (8.5). Интересно отметить, что наилучшие результаты дает применение методики анализа и управления устойчивостью относительно поставленной цели (критерий (8.11)). Август 1999 г. был взят для примера совершенно случайно, поэтому в принципе можно ожидать гораздо более существенных результатов, особенно если учесть возможность усовершенствования методики прогнозирования параметров энергосистемы, критерия оптимизации и других технических моментов, от которых в значительной степени зависит конечный результат.

Т а б л и ц а 8.3

Сравнительные результаты решения

* Коэффициент K^m показывает, какую долю от максимально возможной составляет рабочая мощность энергосистемы в целом за рассматриваемый период. Он рассчитывается на основе статистики предшествующих лет. Коэффициент gпоказывает, на сколько больше заказывается мощности, чтобы избежать ситуаций ее нехватки. В расчетах g принят равным 0,06.

* Формулы (8.1-8.6) взяты из [9].

** Границы интервала возможных значений стоимости 1 т условного топлива были определены экспертным путем.

*** За математические ожидания удельного расхода топлива при заданных значениях рабочей мощности были приняты значения, рассчитываемые по модели (8.6), а среднеквадратическое отклонение считалось равным среднеквадратической ошибке аппроксимации.

* На практике эти значения совпадают с максимумами рабочих мощностей ТЭЦ.