|
|
|
Теория принятия решений Учебное пособие. - М.: Издательство "Март", 2004. 2. ОПИСАНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ В ТЕОРИИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ 2.4. Описание неопределенностей с помощью теории нечеткости2.4.1. Нечеткие множества Пусть A - некоторое множество. Подмножество B множества A характеризуется своей характеристической функцией
Что такое нечеткое множество? Обычно говорят, что нечеткое подмножество C множества A характеризуется своей функцией принадлежности Если функция принадлежности Обычное подмножество можно было бы отождествить с его характеристической функцией. Этого математики не делают, поскольку для задания функции (в ныне принятом подходе) необходимо сначала задать множество. Нечеткое же подмножество с формальной точки зрения можно отождествить с его функцией принадлежности. Однако термин "нечеткое подмножество" предпочтительнее при построении математических моделей реальных явлений. Теория нечеткости является обобщением интервальной математики. Действительно, функция принадлежности задает интервальную неопределенность – про рассматриваемую величину известно лишь, что она лежит в заданном интервале [a,b]. Тем самым описание неопределенностей с помощью нечетких множеств является более общим, чем с помощью интервалов. Начало современной теории нечеткости положено работой 1965 г. американского ученого азербайджанского происхождения Л.А.Заде. К настоящему времени по этой теории опубликованы тысячи книг и статей, издается несколько международных журналов, выполнено достаточно много как теоретических, так и прикладных работ. Первая книга российского автора по теории нечеткости вышла в 1980 г. [1]. Л.А. Заде рассматривал теорию нечетких множеств как аппарат анализа и моделирования гуманистических систем, т.е. систем, в которых участвует человек. Его подход опирается на предпосылку о том, что элементами мышления человека являются не числа, а элементы некоторых нечетких множеств или классов объектов, для которых переход от "принадлежности" к "непринадлежности" не скачкообразен, а непрерывен. В настоящее время методы теории нечеткости используются почти во всех прикладных областях, в том числе при управлении предприятием, качеством продукции и технологическими процессами. Л.А. Заде использовал термин "fuzzy set" (нечеткое множество). На русский язык термин "fuzzy" переводили как нечеткий, размытый, расплывчатый, и даже как пушистый и туманный. Аппарат теории нечеткости громоздок. В качестве примера дадим определения теоретико-множественных операций над нечеткими множествами. Пусть C и D- два нечетких подмножества A с функциями принадлежности
соответственно. Как уже отмечалось, теория нечетких множеств в определенном смысле сводится к теории вероятностей, а именно, к теории случайных множеств. Соответствующий цикл теорем приведен ниже. Однако при решении прикладных задач вероятностно-статистические методы и методы теории нечеткости обычно рассматриваются как различные. Для знакомства со спецификой нечетких множеств рассмотрим некоторые их свойства. В дальнейшем считаем, что все рассматриваемые нечеткие множества являются подмножествами одного и того же множества Y. Законы де Моргана для нечетких множеств. Как известно, законами же Моргана называются следующие тождества алгебры множеств
Теорема 1. Для нечетких множеств справедливы тождества
Доказательство теоремы 1 состоит в непосредственной проверке справедливости соотношений (3) и (4) путем вычисления значений функций принадлежности участвующих в этих соотношениях нечетких множеств на основе определений, данных выше. Тождества (3) и (4) назовем законами де Моргана для нечетких множеств. В отличие от классического случая соотношений (2), они состоят из четырех тождеств, одна пара которых относится к операциям объединения и пересечения, а вторая - к операциям произведения и суммы. Как и соотношение (2) в алгебре множеств, законы де Моргана в алгебре нечетких множеств позволяют преобразовывать выражения и формулы, в состав которых входят операции отрицания. Дистрибутивный закон для нечетких множеств. Некоторые свойства операций над множествами не выполнены для нечетких множеств. Так, Верен ли дистрибутивный закон для нечетких множеств? В литературе иногда расплывчато утверждается, что "не всегда". Внесем полную ясность. Теорема 2. Для любых нечетких множеств А, В и С
В то же время равенство
справедливо тогда и только тогда, когда при всех Доказательство. Фиксируем произвольный элемент
Рассмотрим различные упорядочения трех чисел a, b, c. Пусть сначала Пусть Если Три остальные упорядочения чисел a, b, c разбирать нет необходимости, поскольку в соотношение (6) числа b и cвходят симметрично. Тождество (5) доказано. Второе утверждение теоремы 2 вытекает из того, что в соответствии с определениями операций над нечеткими множествами и Эти два выражения совпадают тогда и только тогда, когда, когда Определение 1. Носителем нечеткого множества А называется совокупность всех точек Следствие теоремы 2. Если носители нечетких множеств В и С совпадают с У, то равенство (6) имеет место тогда и только тогда, когда А - "четкое" (т.е. обычное, классическое, не нечеткое) множество. Доказательство. По условию
|