А.И. Орлов
Теория принятия решений
Учебное пособие. - М.: Издательство "Март", 2004.

2. ОПИСАНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ В ТЕОРИИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ
 

2.4.6. Пересечения и произведения нечетких

и случайных множеств

Выясним, как операции над случайными множествами соотносятся с операциями над их проекциями. В силу законов де Моргана (теорема 1) и теоремы 5 достаточно рассмотреть операцию пересечения случайных множеств.

Теорема 6. Если случайные подмножества А1 и А2 конечного множества У независимы, то нечеткое множество является произведением нечетких множеств Proj A1 и Proj A2 .

Доказательство. Надо показать, что для любого

(9)

По формуле для вероятности накрытия точки случайным множеством (см. выше)

(10)

Легко проверить, что распределение пересечения случайных множеств можно выразить через их совместное распределение следующим образом:

(11)

Из соотношений (10) и (11) следует, что вероятность накрытия для пересечения случайных множеств можно представить в виде двойной суммы

(12)

Заметим теперь, что правую часть формулы (12) можно переписать следующим образом:

(13)

Действительно, формула (12) отличается от формулы (13) лишь тем, что в ней сгруппированы члены, в которых пересечение переменных суммирования принимает постоянное значение. Воспользовавшись определением независимости случайных множеств и правилом перемножения сумм, получаем, что из (12) и (13) вытекает равенство

Для завершения доказательства теоремы 6 достаточно еще раз сослаться на формулу для вероятности накрытия точки случайным множеством.

Определение 3. Носителем случайного множества С называется совокупность всех тех элементов для которых

Теорема 7. Равенство

верно тогда и только тогда, когда пересечение носителей случайных множеств и пусто.

Доказательство. Необходимо выяснить условия, при которых

(14)

Положим

Тогда равенство (14) сводится к условию

(15)

Ясно, что соотношение (15) выполнено тогда и только тогда, когда р2р3=0 при всех т.е. не существует ни одного элемента такого, что одновременно и , а это эквивалентно пустоте пересечения носителей случайных множеств и . Теорема 7 доказана.

Предыдущая страница | Оглавление | Следующая страница