Орлов А.И. Прикладная статистика
М.: Издательство «Экзамен», 2004.    
 
Часть 2. Основные проблемы прикладной статистики


2.3.3. Предельная теория непараметрических критериев

В прикладной статистике широко используются статистики типа омега-квадрат и типа Колмогорова-Смирнова. Они применяются для проверки согласия с фиксированным распределением или семейством распределений, для проверки однородности двух выборок, симметрии распределения относительно 0, при оценивании условной плотности и регрессии в пространствах произвольной природы и т.д.

Статистики интегрального типа и их асимптотика. Рассмотрим статистики интегрального типа

, (1)

где Х – некоторое пространство, по которому происходит интегрирование (например, X = [0; 1], X = R1 или X = Rk). Здесь {α} – направленное множество, переход к пределу по которому обозначен как α→∞ (см. главу 1.4). Случайные функции fα: X×Ω → Y обычно принимают значения, являющиеся числами. Но иногда рассматривают и постановки, в которых У = Rk или У – банахово пространство (т.е. полное нормированное пространство [8]). Наконец, Fα(x,ω) – случайная функция распределения или случайная вероятностная мера; в последнем случае используют также обозначение dFα(x,ω)= Fα(dx,ω).

Предполагаются выполненными необходимые для корректности внутриматематические предположения измеримости, например, сформулированные в [9, 10].

Пример 1. Рассмотрим критерий Лемана – Розенблатта, т.е. критерий типа омега-квадрат для проверки однородности двух независимых выборок (см. главу 3.1). Его статистика имеет вид:

A = Fm(x) – Gn(x))2dHm+n(x) ,

где Fm(x)эмпирическая функция распределения, построенная по первой выборке объема m, Gn(x)) - эмпирическая функция распределения, построенная по второй выборке объема n, а Hm+n(x)эмпирическая функция распределения, построенная по объединенной выборке объема m+n. Легко видеть, что

Hm+n(x) = Fm(x) + Gn(x).

Ясно, что статистика А имеет вид (1). При этом х – действительное число, Х = У = R1, в роли α выступает пара (m, n), и α→∞ означает, что min(m, n) → ∞. Далее,

fα(x,ω) =.

Наконец, Fα(x,ω) = Hm+n(x).

Теперь обсудим асимптотическое поведение функций fα(x,ω) и Fα(x,ω), с помощью которых определяется статистика А. Ограничимся случаем, когда справедлива гипотеза однородности, функции распределения, соответствующие генеральным совокупностям, из которых взяты выборки, совпадают. Их общую функцию распределения обозначим F(x). Она предполагается непрерывной. Введем в рассмотрение выборочные процессы

.

Нетрудно проверить, что

.

Сделаем замену переменной t = F(x). Тогда выборочные процессы переходят в соответствующие эмпирические (см. главу 1.4):

.

Конечномерные распределения этого процесса, т.е. распределения случайных векторов

для всех возможных наборов (t1, t2, … , tk), сходятся к конечномерным распределениям квадрата броуновского моста ξ2(t). В соответствии с подразделом 1.4.5 рассматриваемая сходимость по распределению обозначается так:

. (2)

Нетрудно видеть, что

Fα(x,ω) = Hm+n(x) → F(x)

при α→∞. С помощью замены переменной t = F(x) получаем, что

Fα(F-1(t),ω) = Hm+n(F-1(t)) → t (3)

при α→∞. Из соотношений (2) и (3) хотелось бы сделать вывод, что в случаен статистики Лемана - Розенблатта типа омега-квадрат

,

т.е. предельным распределением этой статистики является классическое распределение [6], найденное как предельное для одновыборочной статистики критерия согласия омега-квадрат Крамера-Мизеса-Смирнова.

Действительно, сформулированное утверждение справедливо. Однако доказательство нетривиально.

Так, может показаться очевидным следующее утверждение.

Утверждение 1. Пусть f: [0; 1] → R1 – ограниченная функция, Gn(x) и G(x) – функции распределения, Gn(0) =G(0) =0, Gn(1) = G(1) = 1, причем Gn(x) → G(x) при всех х. Тогда

. (4)

Это утверждение неверно (ср. [5, с.42]). Действительно, пусть f(x) = 1, если х рационально, и f(x) = 0, если хиррационально, G(x) =x, а Gn(x) имеет скачки величиной 2-n в точках m/2n, m = 1, 2, … , 2n при всех n =1, 2, … ТогдаGn(x) → G(x) при всех х, однако

при всех n =1, 2, … Следовательно, вопреки сформулированному выше утверждению 1,

,

т.е. соотношение (4) неверно.

Итак, сформулируем проблему. Пусть известно, что последовательность случайных функций fα(x, ω) сходится по распределению при α→∞ к случайной функции f(x,ω). Пусть последовательность случайных мер Fα(A,ω) сходится по распределению к вероятностной мере F(A) при α→∞. Если речь идет о конечномерном пространстве и меры задаются функциями распределения, то сходимость Fα(х,ω) к F(х) должна иметь место во всех точках непрерывностиF(х). В каких случаях можно утверждать, что при α→∞ справедлив предельный переход

?

Выше показано, что, например, ограниченности fα(x, ω) для этого недостаточно.

Метод аппроксимации ступенчатыми функциями. Пусть T = {С1, С2, … , Сk} – разбиение пространства Хна непересекающиеся подмножества. Пусть в каждом элементе Сj разбиения T выделена точка xj, j = 1, 2, … , k. На множестве функций f: XY введем оператор AT: если xСj, то

ATf(x) = f(xj), j = 1, 2, … . k. (5)

Тогда ATf – аппроксимация функции f ступенчатыми (кусочно-постоянными) функциями.

Пусть fα(x,ω) – последовательность случайных функций на Х, а К(∙) – функционал на множестве всех возможных их траекторий как функций от х. Для изучения распределения К(fα) методом аппроксимации ступенчатыми функциями используют разложение

К(fα) = К(АТfα) + {К(fα) - К(АТfα)}. (6)

Согласно (5) распределение первого слагаемого в (6) определяется конечномерным распределением случайного элемента, а именно, распределением вектора

(fα(x1,ω), fα(x2,ω), … fα(xk,ω)). (7)

В обычных постановках предельной теории непараметрических критериев распределение вектора (7) сходится при α→∞ к соответствующему конечномерному распределению предельной случайной функции f(x,ω), т.е. к распределению случайного вектора

(f(x1,ω), f(x2,ω), … f(xk,ω)). (8)

В соответствии с теорией наследования сходимости (глава 1.4) при слабых условиях на функционал К(∙) из сходимости по распределению вектора (7) к вектору (8) следует сходимость по распределению К(АТfα) к К(АТf).

Используя аналогичное (6) разложение

К(f) = К(АТf) + {К(f) - К(АТf)}, (9)

можно устанавливать сходимость по распределению К(fα) к К(f) при α→∞ в два этапа: сначала выбрать разбиение Ттак, чтобы вторые слагаемые в правых частях соотношений (6) и (9) были малы, а затем при фиксированном оператореАТ воспользоваться сходимостью по распределению К(АТfα) к К(АТf).

Рассмотрим простой пример применения метода аппроксимации ступенчатыми функциями.

Обобщение теоремы Хелли. Пусть f: [0; 1] → R1 – измеримая функция, Fn(x) – функции распределений, сосредоточенных на отрезке [0; 1]. Пусть Fn(x) сходятся в основном к функции распределения F(x), т.е.

(10)

для всех х, являющихся точками непрерывности F(x).

Утверждение 2. Если f(x) – непрерывная функция, то

(11)

(рассматриваются интегралы Лебега-Стилтьеса).

Утверждение 2 известно в литературе как первая теорема Хелли [8, с.344-346], вторая теорема Хелли [11, с.174-175], лемма Хелли-Брея [12, с.193-194].

Естественно поставить вопрос: при каких f из (10) следует (11)? Необходимо ввести условия и на Fn: если FnF, то соотношение (11) верно для любой измеримой функции f, для которой интеграл в (11) существует. Поэтому рассмотрим следующую постановку.

Постановка 1. Пусть функция f такова, что для любой последовательности Fn, удовлетворяющей (10), справедливо (11). Что можно сказать о функции f?

В работах [9, 10] найдены следующие необходимые и достаточные условия на функцию f.

Теорема 1. Пусть ограниченная на [0; 1] функция f интегрируема по Риману-Стилтьесу по функции распределения F(x). Тогда для любой последовательности функций распределения Fn, сходящейся в основном к F, имеет место предельный переход (11).

Теорема 2. Пусть функция f не интегрируема по Риману-Стилтьесу по функции распределения F(x). Тогдасуществует последовательность функций распределения Fn, сходящаяся в основном к F, для которой соотношение (11) не выполнено.

Теоремы 1 и 2 в совокупности дают необходимые и достаточные условия для f в постановке 1. А именно, необходимо и достаточно, чтобы ограниченная на [0; 1] функция f была интегрируема по Риману-Стилтьесу по F.

Напомним определение интегрируемости функции f по Риману-Стилтьесу по функции распределения F [8, с.341]. Рассмотрим разбиение T = {С1, С2, … , Сk}, где

Сi = [yi-1, yi), i = 1, 2, …, m – 1, Сm = [ym-1, ym], (12)

0 = y0 < y1 < y2 <…< ym = 1.

Выберем в Сi произвольную точку xi, i = 1, 2, …, m, и составим сумму

.

Если при max(yi – yi-1) → 0 эти суммы стремятся к некоторому пределу (не зависящему ни от способа дробления отрезка [0; 1], ни от выбора точек xi в каждом из элементов разбиения), то этот предел называется интегралом Римана-Стилтьеса от функции f по функции F по отрезку [0; 1] и обозначается символом, приведенным в правой части равенства (11).

Рассмотрим суммы Дарбу-Стилтьеса

где

.

Ясно, что

SH(T) < S(T) < SB(T).

Необходимым и достаточным условием интегрируемости по Риману-Стилтьесу является следующее: для любой последовательности разбиений Tk, k = 1, 2, 3, … вида (12) такой, что max(yi – yi-1) → 0 при k→∞, имеем

. (13)

Напомним, что согласно подразделу 1.4.3 колебанием δ(f, B) функции f на множестве B называется δ(f, B) = sup{|f(x) – f(y)|, xB, yB}. Поскольку

δ(f, Сi) = Mi – mi,

то условие (13) можно записать в виде

. (14)

Условие (14), допускающее обобщение с Х = [0; 1] и f: [0; 1] → R1 на X и f более общего вида, и будем использовать при доказательстве теорем 1 и 2.

Доказательство теоремы 1. Согласно методу аппроксимации ступенчатыми функциями рассмотрим операторАТ. Как легко проверить, имеет место разложение

. (15)

Поскольку

|f(x) - ATf(x)| < δ(f, Xi), xСi,

то первое слагаемое в правой части (15) не превосходит

, (16)

а второе не превосходит

.

Согласно определению оператора АТ третье слагаемое в (15) имеет вид

.

Очевидно, оно не превосходит по модулю

(здесь используется ограниченность f на X).

Согласно (16) первое слагаемое в правой части (15) не превосходит

.

Поскольку

,

то первое слагаемое в правой части (15) не превосходит

.

Из оценок, относящихся к трем слагаемым в разложении (15), следует, что

. (17)

Используя оценку (17), докажем, что βn → 0 при n → ∞. Пусть дано ε > 0. Согласно условию интегрируемости функции f по Риману-Стилтьесу, т.е. условию (14), можно указать разбиение T = T(ε) такое, что

, (18)

и в точках yi, i = 1, 2, …, m - 1 (см. (12)), функция F непрерывна.

Поскольку

Fn(Xi) = Fn(yi) - Fn(yi-1),

то из (10) следует, что существует число n = n(ε) такое, что при n > n(ε) справедливо неравенство

. (19)

Из (17), (18) и (19) следует, что при n > n(ε) справедливо неравенство

,

что и требовалось доказать.

Обсудим условие ограниченности f. Если оно не выполнено, то из (10) не всегда следует (11).

Пример 2. Пусть f(x) = 1/x при x > 0 и f(0)=0. Пусть F(0,5) = 0, т.е. предельное распределение сосредоточено на [1/2; 1]. Пусть распределение Fn на [0; ½) имеет единственный атом в точке x = 1/n величиной n-1/2, а на [1/2; 1] справедливо (10). Тогда по причинам, изложенным при доказательстве теоремы 1,

,

однако

,

т.е. соотношение (11) не выполнено.

Условие ограниченности подынтегральной функции f можно заменить, как это сделано, например, в [9], на условие строгого возрастания функции распределения F.

Лемма. Пусть функции распределения F всюду строго возрастает, т.е. из x1 < x2 вытекает F(x1) < F(x2). Пусть функция f интегрируема по Риману-Стилтьесу по F, т.е. выполнено (14). Тогда функция f ограничена.

Доказательство. Рассмотрим точки 0 = y0 < y1 < y2 <…< y2m = 1 и два разбиения

.

Тогда для любых двух точек х и х′ можно указать конечную последовательность точек x1 = x, x2, x3, …, xs, xs+1 = x′ такую, что любые две соседние точки xi, xi+1, i = 1, 2, …, s, одновременно принадлежат некоторому элементу Ciразбиения T1 или разбиения T2, причем СiСj при ij. Действительно, пусть . Пусть для определенности q > p. Тогда можно положить x2 = yp+1, x3 = yp+2, …, xs = yq. Поскольку среди элементов разбиенийТ1 и Т2 есть С1 = [yp; yp+2), то . Далее, , и т.д.

Из указанных выше свойств последовательности x1 = x, x2, x3, …, xs, xs+1 = x′ следует, что

.

Пусть теперь число max(yi – yi-2) настолько мало, что согласно (14)

.

Тогда согласно двум последним соотношениям

,

что и доказывает лемму.

Доказательство теоремы 2. Пусть условие (14) не выполнено, т.е. существуют число γ > 0 и последовательность разбиений Tn, n = 1, 2, …, такие, что max(yi – yi-1) → 0 при n→∞ и при всех n

. (20)

Для доказательства теоремы построим две последовательности функций распределения F1n и F2n, n = 1, 2, …, для которых выполнено (10), но последовательность

не стремится к 0 при n → ∞. Тогда (11) не выполнено хотя бы для одной из последовательностей F1n и F2n.

Для любого С – элемента некоторого разбиения Т – можно указать, как вытекает из определения δ(f, C), точкиx1(C) и x2(C) такие, что

f (x1(C)) - f(x2(C)) > ½ δ(f, C). (21)

Построим F1n и F2n следующим образом. Пусть F1n(С) = F2n(С) = F(С) для любого С из Tn. При этом F1nимеет в С один атом в точке x1(C) величиной F(С), а F2n имеет в С также один атом в точке x2(C) той же величиныF(С). Другими словами, распределение F1n в С сосредоточено в одной точке, а именно, в x1(C), а распределение F2nсосредоточено в x2(C). Тогда

. (22)

Из (20), (21) и (22) следует, что

.

Остается показать, что для последовательностей функций распределения F1n и F2n выполнено (10). Пусть х – точка непрерывности F. Пусть

y1(x, T) = max{ykn: ykn < x}, y2(x, T) = min{ ykn: ykn > x},

где ykn – точки, определяющие разбиения Tn согласно (12). В соответствии с определением Fin

Fin(yj(x, Tn))= F(yj(x, Tn)), i = 1, 2, j = 1, 2,

а потому

|Fin(x) – F(x)| < F(y2(x, Tn)) - F(y1(x, Tn)), i = 1, 2.

В силу условия max(ykn – y(k-1)n) → 0 и непрерывности F в точке x правая часть последнего соотношения стремится к 0 при n → ∞, что и заканчивает доказательство теоремы 2.

Теоремы 1 и 2 демонстрируют основные идеи предельной теории статистик интегрального типа и непараметрических критериев в целом. Как показывают эти теоремы, основную роль в рассматриваемой теории играет предельное соотношение (14). Отметим, что если δ(f, Tn) → 0 при n → ∞, то (14) справедливо, но, вообще говоря, не наоборот. Естественно возникает еще ряд постановок. Пусть (14) выполнено для f1 и f2. При каких функциях h это соотношение выполнено для h(x, f1(x), f2(x))? В прикладной статистике вместо f(x) рассматривают fα(x, ω) и f(x, ω), а вместо интегрирования по функциям распределения Fn(x) – интегрирование по случайным мерам Fα(ω). Как меняются формулировки в связи с такой заменой? В связи со слабой сходимостью (т.е. сходимостью по распределению) ATfα к AT и переходом от fα(x, ω) к hα(x, f(x, ω), f(x, ω)) возникает следующая постановка. Пусть κα слабо сходится к κ при α→∞. Когда распределения gαα) сближаются с распределениями gα(κ)? Полным ответом на последний вопрос являются необходимые и достаточные условия наследования сходимости. Они приведены в главе 1.4.

Основные результаты. Наиболее общая теорема типа теоремы 1 выглядит так [10].

Теорема 3. Пусть существует последовательность разбиений Tn, n = 1, 2, …, такая, что при n →∞ и α→∞

. (23)

Пусть для любого С, входящего хотя бы в одно из разбиений Tn,

Fα(C, ω) → F(C) (24)

при α→∞ (сходимость по вероятности). Пусть fα асимптотически ограничены по вероятности при α→∞. Тогда

(25)

при α→∞ (сходимость по вероятности).

Как известно, полное сепарабельное метрическое пространство называется польским. Это понятие понадобится для формулировки аналога теоремы 2.

Теорема 4. Пусть Х – польское пространство, У конечномерно, существует измельчающаяся последовательность Tn разбиений, для которой соотношение (23) не выполнено. Тогда существует удовлетворяющая (24) последовательность Fα, для которой соотношение (25) неверно, хотя Fα слабо сходится к F при α→∞.

Условие (23) естественно назвать условием римановости, поскольку в случае, рассмотренном в теореме 1, оно является условием интегрируемости по Риману-Стилтьесу. Рассмотрим наследуемость римановости при переходе отf1α(x, ω) со значениями в У1 и f2α(x, ω) со значениями в У2, удовлетворяющих (23), к hα(x, f(x, ω), f(x, ω)) со значениями в У3.

Положим

,

где ||∙||k – норма (т.е. длина вектора) в пространстве Yk, k = 1, 2. Рассмотрим также множества

и функции

.

Наконец, понадобится измеритель колеблемости

и множество

.

Теорема 5. Пусть hα асимптотически (при α→∞) ограничены на Z(a) при любом положительном a, функции f иf асимптотически ограничены по вероятности и удовлетворяют условию (23). Пусть для участвующей в (23) последовательности Tn

c(hα, Tn, a, ε) → 0 (26)

при α→∞, n→∞, ε→ 0 и любом положительном a. Тогда f3α(x, ω) = hα(x, f(x, ω), f(x, ω)) удовлетворяют условию (23) и асимптотически ограничены по вероятности.

Теорема 6. Пусть условие (26) не выполнено для hα. Тогда существуют детерминированные ограниченные функции f и f такие, что соотношение (23) выполнено для f и f и не выполнено для f3α.

Пример 3. Пусть X = [0; 1]k, пространства Y1 и Y2 конечномерны, функция hαh(x, y1, y2) непрерывна. Тогда условие (26) выполнено.

С помощью теорем 3 и 5 и результатов о наследовании сходимости можно изучить асимптотическое поведение статистик интегрального типа

со значениями в банаховом пространстве У.

Теорема 7. Пусть для некоторой последовательности Tn разбиений Х справедливы соотношения (23) для f иfи (24) для Fα. Пусть последовательность функций hα удовлетворяет условию в теореме 5, конечномерные распределения (f(x, ω), f(x, ω)) слабо сходятся к конечномерным распределениям (f1(x, ω), f2(x, ω)), причем для f1и f2 справедливо соотношение (23). Тогда

,

где L – расстояние Прохорова (см. подраздел 1.4.3),

.

Теорема 7 дает общий метод получения асимптотических распределений статистик интегрального типа. Важно, что соотношение (23) выполнено для эмпирического процесса и для процессов, связанных с оцениванием параметров при проверке согласия [9].

Один из выводов общей теории состоит в том, что в качестве Fα можно использовать практически любую состоятельную оценку истинной функции распределения. Этот вывод использовался при построении критерия типа омега-квадрат для проверки симметрии распределения относительно 0 и обнаружения различий в связанных выборках (глава 3.1).

Асимптотическое поведение критериев типа Колмогорова может быть получено с помощью описанного выше метода аппроксимации ступенчатыми функциями. Этот метод не требует обращения к теории сходимости вероятностных мер в функциональных пространствах. Для критериев Колмогорова и Смирнова достаточно использовать лишь свойства эмпирического процесса и броуновского моста. В случае проверки согласия добавляется необходимость изучения еще одного случайного процесса. Он является разностью между двумя функциями распределения. Одна - функция распределения элементов выборки. Вторая - член параметрического семейства распределений, полученный путем подстановки оценок параметров вместо их истинных значений. 

Предыдущая страница | Оглавление | Следующая страница



Защита от автоматического заполнения   Введите символы с картинки*