А.И. Орлов
Математика случая
Вероятность и статистика – основные факты

Учебное пособие. М.: МЗ-Пресс, 2004.    
 

4. Случайные величины и их распределения

Стандартное нормальное распределение и центральная предельная теорема

В вероятностно-статистических методах часто идет речь о нормальном распределении. Иногда его пытаются использовать для моделирования распределения исходных данных (эти попытки не всегда являются обоснованными – см. ниже). Более существенно, что многие методы обработки данных основаны на том, что расчетные величины имеют распределения, близкие к нормальному.

Пусть X1, X2,…, Xn, …– независимые одинаково распределенные случайные величины с математическими ожиданиямиM(Xi) = m и дисперсиями D(Xi) = , i = 1, 2,…, n,… Как следует из результатов предыдущей главы,

Рассмотрим приведенную случайную величину Un для суммы , а именно,

Как следует из формул (7), M(Un) = 0, D(Un) = 1.

Центральная предельная теорема (для одинаково распределенных слагаемых). Пусть X1, X2,…, Xn, …– независимые одинаково распределенные случайные величины с математическими ожиданиями M(Xi) = m и дисперсиями D(Xi) = , i = 1, 2,…, n,… Тогда для любого х существует предел

где Ф(х) – функция стандартного нормального распределения.

Подробнее о функции Ф(х) – ниже (читается «фи от икс», поскольку Ф – греческая прописная буква «фи»).

Центральная предельная теорема (ЦПТ) носит свое название по той причине, что она является центральным, наиболее часто применяющимся математическим результатом теории вероятностей и математической статистики. История ЦПТ занимает около 200 лет – с 1730 г., когда английский математик А.Муавр (1667-1754) опубликовал первый результат, относящийся к ЦПТ (см. ниже о теореме Муавра-Лапласа), до двадцатых – тридцатых годов ХХ в., когда финн Дж.У. Линдеберг, француз Поль Леви (1886-1971), югослав В. Феллер (1906-1970), русский А.Я. Хинчин (1894-1959) и другие ученые получили необходимые и достаточные условия справедливости классической центральной предельной теоремы.

Развитие рассматриваемой тематики на этом отнюдь не прекратилось – изучали случайные величины, не имеющие дисперсии, т.е. те, для которых

(академик Б.В.Гнеденко и др.), ситуацию, когда суммируются случайные величины (точнее, случайные элементы) более сложной природы, чем числа (академики Ю.В.Прохоров, А.А.Боровков и их соратники), и т.д.

Функция распределения Ф(х) задается равенством

,

где - плотность стандартного нормального распределения, имеющая довольно сложное выражение:

.

Здесь =3,1415925… - известное в геометрии число, равное отношению длины окружности к диаметру, e = 2,718281828… - основание натуральных логарифмов (для запоминания этого числа обратите внимание, что 1828 – год рождения писателя Л.Н.Толстого). Как известно из математического анализа,

При обработке результатов наблюдений функцию нормального распределения в настоящее время уже не вычисляют по приведенным формулам, а находят с помощью специальных таблиц или компьютерных программ. Лучшие на русском языке «Таблицы математической статистики» составлены членами-корреспондентами АН СССР Л.Н. Большевым и Н.В.Смирновым [8].

Вид плотности стандартного нормального распределения вытекает из математической теории, которую не имеем возможности здесь рассматривать, равно как и доказательство ЦПТ.

Для иллюстрации приводим небольшие таблицы функции распределения Ф(х) (табл.2) и ее квантилей (табл.3). ФункцияФ(х) симметрична относительно 0, что отражается в табл.2-3.

Если случайная величина Х имеет функцию распределения Ф(х), то М(Х) = 0, D(X) = 1. Это утверждение доказывается в теории вероятностей, исходя из вида плотности вероятностей . Оно согласуется с аналогичным утверждением для характеристик приведенной случайной величины Un, что вполне естественно, поскольку ЦПТ утверждает, что при безграничном возрастании числа слагаемых функция распределения Un стремится к функции стандартного нормального распределения Ф(х), причем этот предельный переход справедлив для любого числа х.

Таблица 2.

Функция стандартного нормального распределения.

х

Ф(х)

х

Ф(х)

х

Ф(х)

-5,0

0,00000029

-1,0

0,158655

2,0

0,9772499

-4,0

0,00003167

-0,5

0,308538

2,5

0,99379033

-3,0

0,00134990

0,0

0,500000

3,0

0,99865010

-2,5

0,00620967

0,5

0,691462

4,0

0,99996833

-2,0

0,0227501

1,0

0,841345

5,0

0,99999971

-1,5

0,0668072

1,5

0,9331928

Таблица 3.

Квантили стандартного нормального распределения.

р

Квантиль порядка р

р

Квантиль порядка р

0,01

-2,326348

0,60

0,253347

0,025

-1,959964

0,70

0,524401

0,05

-1,644854

0,80

0,841621

0,10

-1,281552

0,90

1,281552

0,30

-0,524401

0,95

1,644854

0,40

-0,253347

0,975

1,959964

0,50

0,000000

0,99

2,326348

Предыдущая страница | Оглавление | Следующая страница



Защита от автоматического заполнения   Введите символы с картинки*