А.И. Орлов
Математика случая
Вероятность и статистика – основные факты

Учебное пособие. М.: МЗ-Пресс, 2004.    
 

6. Некоторые типовые задачи прикладной статистики и методы их решения

Непараметрическое оценивание функции распределения

Второй пример непараметрического оценивания – оценивание функции распределения. По теореме Гливенко эмпирическая функция распределения Fn(x) является состоятельной оценкой функции распределения F(x). Если F(x) – непрерывная функция, то на основе теоремы Колмогорова доверительные границы для функции распределения F(x) задают в виде

(F(x))Н = max , (F(x))B = min ,

где k(γ,n) – квантиль порядка γ распределения статистики Колмогорова при объеме выборки n (напомним, что распределение этой статистики не зависит от F(x)).

Правила определения оценок и доверительных границ в параметрическом случае строятся на основе параметрического семейства распределений F(x;θ). При обработке реальных данных возникает вопрос – соответствуют ли эти данные принятой вероятностной модели? Т.е. статистической гипотезе о том, что результаты наблюдений имеют функцию распределения из семейства {F(x;θ), θΘ} при некотором θ = θ0? Такие гипотезы называют гипотезами согласия, а критерии их проверки – критериями согласия.

Если истинное значение параметра θ = θ0 известно, функция распределения F(x0) непрерывна, то для проверки гипотезы согласия часто применяют критерий Колмогорова, основанный на статистике

где Fn(x) – эмпирическая функция распределения.

Если истинное значение параметра θ0 неизвестно, например, при проверке гипотезы о нормальности распределения результатов наблюдения (т.е. при проверке принадлежности этого распределения к семейству нормальных распределений), то иногда используют статистику

Она отличается от статистики Колмогорова Dn тем, что вместо истинного значения параметра θ0 подставлена его оценка θ*.

Распределение статистики Dn(θ*) сильно отличается от распределения статистики Dn. В качестве примера рассмотрим проверку нормальности, когда θ = (m, σ2), а θ* = (, s2). Для этого случая квантили распределений статистик Dn иDn(θ*) приведены в табл.1 (см., например, [15]). Таким образом, квантили отличаются примерно в 1,5 раза.

Таблица 1.

Квантили статистик Dn и Dn(θ*) при проверке нормальности

р

0,85

0,90

0,95

0,975

0,99

Квантили порядка р для Dn

1,138

1,224

1,358

1,480

1,626

Квантили порядка р для Dn(θ*)

0,775

0,819

0,895

0,955

1,035

Предыдущая страница | Оглавление | Следующая страница



Защита от автоматического заполнения   Введите символы с картинки*