А.И. Орлов    
   Эконометрика    
   Учебник. М.: Издательство "Экзамен", 2002.
 

Глава 4. Статистический анализ числовых величин (непараметрическая статистика)

4.6. Состоятельные критерии проверки однородности для независимых выборок

В соответствии с эконометрической теорией естественно потребовать, чтобы рекомендуемый для массового использования в экономических и технико-экономических исследованиях критерий однородности был состоятельным. Напомним: это значит, что для любых отличных друг от друга функций распределения F(x) и G(x) (другими словами, при справедливости альтернативной гипотезы H1) вероятность отклонения гипотезы H0 должна стремиться к 1 при увеличении объемов выборок т и п. Из перечисленных выше в конце п.4 критериев состоятельными являются только критерии Смирнова и типа омега-квадрат.

Проведенное исследование мощности (методом статистических испытаний) первых четырех из перечисленных выше критериев (при различных вариантах функций распределения F(x) и G(x)) подтвердило преимущество критериев Смирнова и омега-квадрат и при объемах выборок 6-12.

Критерий Смирнова однородности двух выборок. Он предложен членом-корреспондентом АН СССР Н.В. Смирновым в 1939 г. (см. справочник [8]). Единственное ограничение - функции распределения F(x) и G(x) должны быть непрерывными. Напомним, что согласно Л.Н. Большеву и Н.В. Смирнову [8] значение эмпирической функции распределения в точке х равно доле результатов наблюдений в выборке, меньших х. Критерий Смирнова основан на использовании эмпирических функций распределения Fm(x) и Gn(x), построенных по первой и второй выборкам соответственно. Значение статистики Смирнова

сравнивают с соответствующим критическим значением (см., например, [8]) и по результатам сравнения принимают или отклоняют гипотезу Н0 о совпадении (однородности) функций распределения. Практически значение статистикиDm,п рекомендуется согласно монографии [8] вычислять по формулам

,

,

,

где x'1<x'2<…<x'm - элементы первой выборки x1,x2,…,xm , переставленные в порядке возрастания, а y'1<y'2<…<y'n - элементы второй выборки y1,y2,…,yn , также переставленные в порядке возрастания.

Разработаны алгоритмы и программы для ЭВМ, позволяющие рассчитывать точные распределения, процентные точки и достигаемый уровень значимости для двухвыборочной статистики Смирнова , разработаны подробные таблицы (см., например, методику [15], содержащую тексты программ и подробные таблицы).

Однако у критерия Смирнова есть и недостатки. Его распределение сосредоточено в сравнительно небольшом числе точек, поэтому функция распределения растет большими скачками. В результате не удается выдержать заданный уровень значимости, реальный уровень значимости может в несколько раз отличаться от номинального (подробному обсуждению неклассического феномена существенного отличия реального уровня значимости от номинального посвящена работа [16]).

Критерий типа омега-квадрат (Лемана-Розенблатта). Статистика критерия типа омега-квадрат для проверки однородности двух независимых выборок имеет вид:

A = Fm(x) – Gn(x))2 dHm+n(x) ,

где Hm+n(x) – эмпирическая функция распределения, построенная по объединенной выборке,

Hm+n(x) = Fm(x) + Gn(x) .

Статистика A типа омега-квадрат была предложена Э. Леманом в 1951 г., изучена М. Розенблаттом в 1952 г., а затем и другими исследователями. Она зависит лишь от рангов элементов двух выборок в объединенной выборке. Пусть - первая выборка, - соответствующий вариационный ряд, -вторая выборка, - вариационный ряд, соответствующий второй выборке. Поскольку функции распределения независимых выборок непрерывны, то с вероятностью 1 все выборочные значения различны, совпадения отсутствуют. Статистика А представляется в виде (см., например, [8]):

где ri - ранг x'i и sj - ранг y'j в общем вариационном ряду, построенном по объединенной выборке.

Правила принятия решений при проверке однородности двух выборок на основе статистик Смирнова и типа омега-квадрат, т.е. таблицы критических значений в зависимости от уровней значимости и объемов значимости приведены, например, в таблицах [8].

Рекомендации по выбору критерия однородности. Для критерия типа омега-квадрат нет выраженного эффекта различия между номинальными и реальными уровнями значимости. Поэтому мы рекомендуем для проверки однородности функций распределения (гипотеза H0) применять статистику А типа омега-квадрат. Если методическое, табличное или программное обеспечение для статистики Лемана-Розенблатта отсутствует, рекомендуем использовать критерий Смирнова. Для проверки однородности математических ожиданий (гипотеза H'0) целесообразно применять критерий Крамера-Уэлча. По нашему мнению, статистики Стьюдента, Вилкоксона и др. допустимо использовать лишь в отдельных частных случаях, рассмотренных выше.

Некоторые соображения о внедрении современных методов прикладной статистики в практику технических и технико-экономических исследований. Даже из проведенного выше разбора лишь одной из типичных статистических задач - задачи проверки однородности двух выборок - можно сделать вывод о целесообразности широкого развертывания в организациях различных форм собственности работ по критическому анализу сложившейся в технических и технико-экономических исследованиях практики статистической обработки данных и по внедрению накопленного арсенала современных методов прикладной статистики. По нашему мнению, широкого внедрения заслуживают, в частности, методы многомерного статистического анализа, планирования эксперимента, статистики объектов нечисловой природы. Очевидно, рассматриваемые работы должны быть плановыми, организационно оформленными, проводиться мощными самостоятельными организациями и подразделениями. Целесообразно создание службы статистических консультаций в системе научно-исследовательских учреждений и вузов технического и технико-экономического профиля.

Предыдущая страница | Оглавление | Следующая страница



Защита от автоматического заполнения   Введите символы с картинки*