Н.В. Зубанов
Анализ устойчивости относительно поставленной цели как один из подходов к описанию функционирования организации в условиях неопределенности
Монография, Самара, 2001.

Глава 5. Анализ устойчивости и задача линейного программирования
 

Представление организации как управляемой целеориентированной системы предполагает существование механизма функционирования, посредством которого система достигает цели при определенном состоянии внешней среды и учитывает его возможные изменения. Большинство моделей функционирования организации разработано в предположении о неизменной в течение рассматриваемого периода программе, или ее изменения в деталях расписаны заранее, и предполагается, что они произойдут наверняка. При всем удобстве пользования этими моделями, существуют практические случаи, в которых функционирование происходит не в полном соответствии с заранее заданной программой, а наиболее оптимальным (относительно существующего состояния внешней среды) образом. Поэтому основные управляющие воздействия в данном случае являются откликом на текущее состояние внешней среды и могут быть представлены как функция от ее параметров. Задача анализа устойчивости возникает не только в первом случае, но и во втором, т.к. даже при совершенном адаптивном управлении имеет место неопределенность будущих состояний организации и самих управляющих воздействий. В данном случае мы сталкиваемся с неопределенностью двух видов: 1) неопределенность в выборе наиболее адекватного состоянию внешней среды управления и 2) неопределенность результата выбранного управляющего воздействия.

Адаптивное управление организацией, или «включенное» оперативное управление, должно описываться некоторой моделью, отражающей управление как функцию от состояния внешней среды. Помимо этого модель адаптивного управления должна содержать критерий*, относительно которого принимается решение, и представление управления в виде совокупности управляемых переменных и правил выбора значений управляемых переменных в ходе управления. При наличии перечисленных компонент управление вместо сложного неструктурированного процесса предстает в максимально доступной и структурированной форме, а так как различные варианты управления представляются как однотипные наборы управляемых переменных и критерий эффективности управления есть функция от переменных управления, то процесс принятия управленческого решения предстает как автоматически происходящая процедура. Одной из наиболее распространенных моделей оперативного управления организацией является задача линейного программирования, состоящая в максимизации некоторого критерия эффективности управления Z, являющегося линейной функцией от управляемых параметров системы, при ограниченных ресурсах управления:

                                    (5.1)

где Х – вектор управляемых параметров организации, В – вектор ограничений, А – матрица технологических коэффициентов, показывающая расход ресурсов на выполнение определенного управляющего воздействия.

Область применения ЗЛП чрезвычайно широка, но в экономике чаще всего решается задача максимизации суммарного дохода (прибыли) организации путем выпуска определенной номенклатуры продукции при ограниченных ресурсах. Поэтому за вектор Х принимается ассортимент выпускаемой продукции, за вектор С – удельные доходности (прибыльности) продуктов, и накладывают дополнительное условие неотрицательности на вектор Х. Отдельного комментария требуют ограничения, заданные матрицей А и вектором В. Помимо ограниченности имеющихся материальных ресурсов, в случае долгосрочного планирования они обусловлены следующими факторами:
1. Ограниченность бюджета организации, выделяемого на ведение деятельности.
2. Ограниченность производственных мощностей по переработке сырья и производственных мощностей.
3. Ограниченность пропускной способности производственных коммуникаций.
4. Ограниченность доли рынка, занимаемой компанией.
5. Необходимость выпуска продукции в соответствии с определенной структурой выпуска, чтобы не нарушать ценовое равновесие на рынке.
6. Необходимость производства и поставок продукции в определенный срок.

Помимо названных, могут существовать и другие, менее типичные факторы. Их отбор – задача отдельного исследования.

При решении поставленной задачи для конкретных случаев получаются управления, состоящие в определении объемов производства каждого вида продукции, при которых максимизируется суммарный доход (прибыль). Представляется интересным выяснить, какие группы параметров и в силу каких причин имеют стохастическую природу, и поставить задачу анализа устойчивости в условиях задачи типа ЗЛП.

Итак, стохастическую природу, в первую очередь, имеют параметры удельной прибыльности выпускаемой продукции. Стохастическая природа данных параметров объясняется многими факторами технологического и экономического характера, среди которых наиболее важное место занимают продажная цена товаров и их себестоимость. Данные параметры, в свою очередь, претерпевают влияние других параметров, отражающих более частные воздействия. Например, цена может варьировать вследствие изменения соотношения спроса и предложения на продаваемый товар, конкурентной борьбы на рынке сбыта, технологического и социального прогресса, вызывающего изменение доли данного товара в структуре потребления. Себестоимость варьирует вследствие изменений ситуации на сырьевом рынке что влечет за собой изменение цен на сырье, доступного для потребителей количества сырья, требований к качеству сырья и т.д., а также вследствие технологического прогресса, при котором удельные затраты сырья могут снижаться, но его стоимость – расти. Кроме того, себестоимость может варьировать и вследствие действия внутризаводских факторов, как то: изменение соотношения между постоянными и переменными издержками при разных объемах выпуска продукции, изменение норм расходования сырья, происходящее вследствие старения оборудования, падения или роста эффективности производства и других причин. Перечисленные причины изменения параметров удельной прибыльности далеко не исчерпывают всех возможных причин, так как в конкретных ситуациях приведенный перечень дополняется особенными, присущими конкретным объектам исследования причинами. В общем, можно считать, что число факторов, влияющих на вариацию параметров удельной прибыльности достаточно велико, чтобы в ряде практических случаев считать последние распределенными по нормальному закону.

Для параметров ограничений можно выделить следующие группы причин их отклонений от расчетных значений: 1) изменение доли рынка, занимаемой предприятием, происходящее как вследствие конкурентной борьбы, так и в силу сокращения или увеличения совокупного спроса на данную продукцию; 2) увеличение или сокращение бюджета (оборотного капитала) предприятия; 3) изменение количества сырья, доступного для переработки (наиболее актуально в случае жесткой технологической цепочки); 4) другие причины, действующие в конкретной ситуации. Параметры матрицы технологических коэффициентов также подвержены вариации вследствие двух следующих причин: 1) удорожание или удешевление производства одного или нескольких видов продукции, происходящее по различным причинам; 2) вариация технологических коэффициентов, происходящая вследствие сезонных изменений, изменений качества сырья, технологических изменений, ужесточения требований к качеству и т.п.

Постановка задачи анализа устойчивости в случае «включенного» адаптивного управления является общей для всех групп варьирующих параметров ЗЛП: имея данные о границах интервалов возможных отклонений параметров модели адаптивного управления и определив закон распределения параметров, отыскать возможные в данной ситуации оптимальные управления, найти вероятности их оптимальности и рассчитать показатель устойчивости относительно поставленной цели при каждом возможном управлении в отдельности и в целом. Управлением в данном случае является выбор ассортимента и объемов производства продукции в анализируемом периоде.

Основной упор в данном исследовании планируется сделать на анализ устойчивости в случае варьирующих параметров целевой функции при неизменных значениях других групп параметров задачи, поскольку этот случай является наиболее распространенным, а последствия изменений других параметров задачи, как правило, легко исправимы на практике. Кроме того, изменения параметров ограничений, как показывается в теории линейного программирования, не влияют на структуру оптимального плана задачи, а приращения целевой функции вследствие изменения ограничений легко находятся с помощью так называемых «двойственных оценок». Наиболее распространенный метод решения ЗЛП – симплекс-метод – хорошо разработан, описан в целом ряде источников и реализован в пакетах прикладных программ, поэтому на нем останавливаться не будем. Однако симплекс-метод позволяет получить оптимальное решение только для точечных значений параметров задачи, тогда как в силу действия различных факторов эти параметры могут отклоняться от точечных (расчетных) значений, тем самым меняя структуру оптимального решения, т.е. алгоритм оптимального управления. Поэтому для решения поставленной задачи симплекс-метод в классическом виде не подходит, и его необходимо усовершенствовать так, чтобы с его помощью можно было находить области устойчивости всех возможных оптимальных планов ЗЛП и вероятности попадания параметров внешней среды (в данном случае параметров целевой функции) в области устойчивости всех возможных оптимальных планов.

Как и в случае задачи анализа устойчивости функционирования организации относительно поставленных целей при «отключенном» текущем управлении, подходы к решению задачи устойчивости при «включенном» текущем управлении осуществлялись и ранее. Для частичного устранения указанного недостатка симплекс-метода было разработано два метода, позволяющих определить, при каких отклонениях параметров целевой функции от их точечных значений найденный план остается оптимальным, а при каких необходимо менять план производства: метод анализа чувствительности решения [4, pp. 133-147] и метод параметрического программирования [8, c. 199-206].

Метод анализа чувствительности найденного оптимального решения ЗЛП позволяет определить интервалы изменений параметров целевой функции задачи, при которых полученное решение остается неизменным. Данный метод заключается в параметризации определенного коэффициента целевой функции (т.е. целевая функция записывается не в виде  , а в виде  ), решении задачи стандартным симплекс-методом относительно параметризованной целевой функции и нахождении области устойчивости полученного решения из условий неотрицательности коэффициентов целевой функции на последней симплекс-итерации. Однако данный метод чаще всего применяется при одном варьирующем параметре целевой функции, и часто оказывается так, что изменения нескольких параметров целевой функции в пределах интервалов устойчивости соответствующего оптимального решения, рассчитанных методом анализа чувствительности, вызывают изменение оптимального решения задачи.

Метод параметрического программирования позволяет определить интервалы устойчивости оптимального решения по всем параметрам целевой функции, а также находить оптимальные планы производственной задачи при отклонениях параметров целевой функции, нарушающих границы интервалов устойчивости решения. Однако этот метод применяется только в тех случаях, когда существует зависимость изменений параметров целевой функции от некой переменной, а эту зависимость либо чрезвычайно трудно отыскать, либо ее вообще не существует. Отсюда следует, что метод параметрического программирования не полностью решает поставленной выше задачи и, кроме того, при его использовании учитываются далеко не все ситуации, могущие возникать в будущем, так как расчет ведется, исходя из предположения зависимости параметров целевой функции от некой переменной, то есть при определенном значении этой переменной возможна одна и только одна комбинация параметров целевой функции, а это предположение неадекватно экономической действительности, где изменение параметров производственной задачи происходит если не независимо друг от друга, то, во всяком случае, без явной функциональной зависимости. Таким образом, предположение о существовании одной и только одной комбинации параметров целевой функции, на котором основан метод параметрического программирования, неверно. Более того, в большинстве случаев изменение параметра целевой функции ЗЛП в пределах доверительного интервала прогноза происходит независимо от изменения других параметров, так как сущность интервала прогноза состоит в том, что он с определенной вероятностью (надежностью) покрывает диапазон отклонений параметра от прогнозного значения, происходящих случайно, то есть величина этих отклонений принципиально не зависит от отклонений других параметров.

Для решения задачи определения областей устойчивости оптимальных решений ЗЛП предлагается следующая последовательность действий:

1. Задается закон распределения случайной величины параметра целевой функции.

2. Представление целевой функции в виде:

                                   (5.2)

где аj – расчетные (прогнозные) значения параметров целевой функции, tj – независимые случайные приращения. Очевидно, что ранее определенное среднеквадратическое отклонение tj равно с.к.о. aj.

3. Расчет возможного количества оптимальных планов. Пусть N – общее количество оптимальных планов задачи. При этом возможны следующие ситуации: наиболее выгодно не начинать производство вообще, или выпускать один товар, два товара, три товара,..., m товаров, где m – общее число планируемых к производству товаров. Тогда для Nполучаем соотношение:

                                            (5.3)

где  .

4. Задание целевой функции параметрически, в виде (5.2).

5. Решение исходной задачи относительно всех возможных вариантов целевой функции. Условие одновременной неотрицательности коэффициентов при небазисных переменных, выраженных через параметры  , получившихся на последней симплекс-итерации при нахождении оптимального плана Хi, и определяет область устойчивости плана Хi.

6. Расчет вероятности оптимальности каждого возможного плана по стандартному методу анализа устойчивости, описанному выше.

Целевая функция, выраженная через параметры случайных независимых отклонений, является случайной величиной, имеющей закон распределения вероятностей, плотность распределения которого имеет вид:

                        (5.4),

где фигурные скобки означают, что плотности распределения вида (5.4) составляются для каждого найденного оптимального плана.

Тогда устойчивость относительно поставленной цели является вероятностью события  , где а – целевой уровень, и вычисляется по формуле:

(5.5)

Таким образом, вероятность попадания значений целевой функции при i-м оптимальном плане в определенный интервал [a;b], т.е. устойчивость относительно данного целеуказания, рассчитывается по формуле:

               (5.6).

Вероятность выполнения целеуказания системы в целом определяется по формуле полной вероятности (формуле Байеса):

             (5.7)

Данная процедура позволяет рассчитать вероятности любых исходов деятельности организации. Наиболее интересными из этих исходов являются следующие: получение неотрицательной прибыли; получение прибыли, достаточной для того, чтобы окупились инвестиционные затраты; получение значения прибыли, интересующее исследователя. Вероятности перечисленных исходов и характеризуют устойчивость функционирования относительно параметра прибыли, являющегося одним из важнейших параметров целеуказания в экономических системах. Кроме устойчивости относительно прибыли можно находить устойчивость относительно других финансовых параметров, так как все они связаны с величиной доходов и издержек функциональной зависимостью.

Для иллюстрации метода приведем пример. Пусть для изготовления четырех видов изделий, А,В,С,D, на предприятии используется токарное, фрезерное, сварочное и шлифовальное оборудование. Затраты времени на обработку одного вида изделия для каждого типа оборудования в минутах, издержки на производство и ожидаемый доход от реализации одного изделия каждого типа (в денежных единицах) приведены в нижеследующей Т а б л и ц е 5.1. Требуется составить план выпуска изделий, при котором суммарная прибыль была бы максимальной, в предположении о гарантированном сбыте продукции.

При планировании производства учитывается неопределенность следующих видов: 1) неточно определены цены сбыта: с помощью методов статистического прогнозирования по достаточно большому числу наблюдений рассчитаны ожидаемые значения среднемесячных цен и доверительные интервалы с надежностью 80%; 2) величины прямых издержек указаны ориентировочно: экспертная комиссия определила интервалы возможных отклонений прямых издержек от ожидаемых значений с надежностью 90%. Границы доверительных интервалов приведены в Т а б л и ц е 5.2.

Т а б л и ц а 5.1

Исходные данные задачи

Тип оборудования

Продукты

Фонд рабочего времени в месяц,

 

А

В

С

D

машиночасов

Фрезерное

2

4

5

5

320

Токарное

1

10

6

3

400

Сварочное

6

4

5

5

360

Шлифовальное

4

6

6

10

480

Прямые издержки, руб./ед.

12,3

16,1

15,2

16,4

 

общехозяйственные расходы и амортизация оборудования, руб.

990

 

ожидаемая цена реализации, руб.

21

27

25

26

 

Т а б л и ц а 5.2

Результаты прогнозирования

параметр

Нижняя граница

Верхняя граница

                                                прямые издержки, руб./ед.     

продукт А

9,9

14,7

продукт В

13,5

18,7

продукт С

13,1

17,3

продукт D

13,05

19,75

                                                цена реализации, руб./ед.

продукт А

18

24

продукт В

23,5

30,5

продукт С

21

29

продукт D

24

28

 

Целью в будущем месяце является оздоровление финансово-хозяйственной деятельности предприятия, т.е. восстановление рентабельности (по отношению к оборотным активам) и платежеспособности на высоком уровне. В соответствии с произведенным целеполаганием требуется погасить образовавшуюся кредиторскую задолженность в 2250 ден. ед. и кроме того выйти на уровень рентабельности к оборотным активам не менее 40%.

Примем, что параметры прямых издержек и продажной цены имеют нормальное распределение. Определим среднеквадратические отклонения по каждому из параметров. Математическими ожиданиями являются оценки наибольшего правдоподобия, т.е. ожидаемые значения. Результаты расчетов приведены в Т а б л и ц е 5.3.

Т а б л и ц а 5.3

Параметры распределений прямых издержек и цен реализации для товаров А, В, С, D

параметр

мат. ожидание

среднекв. отклонение

                                                               прямые издержки     

продукт А

12,3

1,459

продукт В

16,1

1,581

продукт С

15,2

1,277

продукт Д

16,4

2,037

                                                               цена реализации

продукт А

21

2,341

продукт В

27

2,731

продукт С

25

3,121

продукт Д

26

1,561

Согласно правилу композиции нормальных законов распределения, сумма (разность) нормально распределенных случайных величин имеет нормальное распределение с параметрами: математическое ожидание – сумма (разность) математических ожиданий; среднеквадратическое отклонение – квадратный корень из суммы квадратов среднеквадратических отклонений случайных величин, образующих сумму (разность). Поэтому прибыль без учета прочих издержек от реализации единицы продукта имеет нормальное распределение с параметрами, приведенными в Т а б л и ц е 5.4.

Т а б л и ц а 5.4

Параметры распределения удельной прибыльности товаров А, В, С, D

Параметр

мат. ожидание

среднекв. отклонение

удельная прибыльность продукта А

8,7

2,758

удельная прибыльность продукта В

10,9

3,156

удельная прибыльность продукта С

9,8

3,372

удельная прибыльность продукта Д

9,6

2,566

Построим математическую модель задачи. Пусть х1, х2, х3, х4 – объемы выпуска, соответственно, продуктов А, В, С,D. Тогда целеуказание будет иметь вид:

 *                                (5.8)

где  – удельная прибыльность i-го товара,  – прямые издержки на его производство.

Очевидно, показатель устойчивости зависит от  . С другой стороны,  зависит от сложившихся цен и издержек на производство продукции, т.е. от удельной прибыльности каждого вида продукции. Эта зависимость иллюстрируется адаптивной моделью управления:

                                (5.9)

смысл которой состоит в том, что предприятие стремится наиболее эффективно использовать имеющиеся ограниченные ресурсы при сложившихся рыночных ценах и издержках. В зависимости от  оптимальными планами являются различные вектора  , поэтому устойчивость относительно поставленной цели меняется в зависимости от  и . Как было показано выше, для любого решения существует своя область устойчивости, а следовательно вероятность оптимальности. Поэтому устойчивость относительно поставленной цели при имеющемся целеуказании будем рассчитывать по формуле полной вероятности (5.7).

Итак, общее количество возможных оптимальных планов составляет   . Для отыскания области устойчивости каждого оптимального плана запишем целевую функцию с учетом возможных вариаций ее параметров:

                                     (5.10)

и будем искать условие устойчивости в виде системы неравенств относительно  . Например, условие устойчивости для оптимального плана, содержащего только х1, поучается путем обнуления в строке целевой функции коэффициента , соответствующего х1. После этой итерации строка целевой функции выглядит следующим образом:

 ,

откуда следует условие устойчивости данного плана:

 .

Имея условие устойчивости данного плана, легко найти вероятность его оптимальности. Она составляет 0,5%. Переход от оптимального плана (х1,0,0,0) к плану (х1,х2,0,0) осуществляется аналогично: в строке целевой функции обнуляется коэффициент  , стоящий перед х2. Тогда условие устойчивости данного оптимального плана имеет вид:

Устойчивость данного плана составляет 17.4%. Устойчивости остальных оптимальных планов находятся таким же образом. В Т а б л и ц е 5.5 приведены результаты решения задачи с учетом возможных пересечения областей устойчивости.

Т а б л и ц а 5.5

Промежуточные результаты решения поставленной задачи

План (1)

Область устойчивости (2)

Устойчивость, % (3)

Целевая функция (4)

(0,0,0,0)

~0

0

(3600,0,0,0)

0,5

(1)

(2)

(3)

(4)

(2143,2186,0,0)

16,66

(600,0,3600,0)

8,2

(1800,0,0,2160)

2,2

(600,345,3323,0)

16,14

(600,885,1956,934)

21,9

(1323,1905,0,1207)

(базовый вариант, получаемый без учета вариаций параметров целевой функции)

25,11

(600,0,2400,1200)

4,4

(0,2400,0,0)

~0

(0,184,3692,0)

1,29

(1)

(2)

(3)

(4)

(0,1873,0,1756)

1,1

(0,865,1966,1180)

1,5

(0,0,3840,0)

1

(0,0,2400,1440)

~0

(0,0,0,2880)

~0

Как видно из Т а б л и ц ы 5.5базовое решение данной задачи устойчиво только на 25,11%, т.е. всего в четверти всех возможных случаев оно действительно будет оптимальным. Остальные решения заметно отличаются от базового по структуре, да и по значению целевой функции. Это подтверждает надежды автора на то, что поставленная проблема не является всецело научным курьезом, а представляет определенный практический интерес. 

Перейдем к расчету устойчивости относительно поставленной цели. Запишем целеуказание в форме функции от ожидаемых значений его параметров и возможных отклонений реальных значений от расчетных:

                           (5.11)

После элементарных преобразований целеуказание имеет вид:

                        (5.12)

В Т а б л и ц е 5.6 отражены результаты расчета устойчивости относительно поставленной цели, произведенные по целеуказанию (5.8).

Т а б л и ц а 5.6

Результаты расчета устойчивости относительно поставленной цели для каждого возможного решения

План

Устойчивость, %

Целеуказание

Устойчивость относительно поставленной цели, %

(0,0,0,0)

~0

-

(3600,0,0,0)

0,5

83.7

(2143,2186,0,0)

16,66

93.7

(600,0,3600,0)

8,2

83.4

(1800,0,0,2160)

2,2

89.6

(600,345,3323,0)

16,14

86.2

(600,885,1956,934)

21,9

94.7

(1323,1905,0,1207)

25,11

95.7

(600,0,2400,1200)

4,4

89.4

(0,2400,0,0)

~0

82.0

(0,184,3692,0)

1,29

80.7

(0,1873,0,1756)

1,1

90.5

(0,865,1966,1180)

1,5

92.0

(0,0,3840,0)

1

79.2

(0,0,2400,1440)

~0

85.7

(0,0,0,2880)

~0

74.5

Применив формулу (5.7), получим, что вероятность достижения поставленной цели в данном случае составляет 91,66%, причем минимальное из принципиально возможных значений устойчивости составляет 74,5%, что говорит о достаточно высокой вероятности достижения цели.

Рассмотрим еще одну задачу линейного программирования, которая обладает достаточной степенью своеобразия, чтобы исследоваться по другому, более специальному методу. Это так называемая транспортная задача. Все вводные замечания, касающиеся представления ЗЛП как модели «включенного» оперативного управления, справедливы и для нее. Задача будет поставлена и решена на основе общетеоретических посылок. Конкретные примеры, на которых показывается в основном техническая сторона решения задачи, в данной работе приведены не будут.

Алгоритм транспортной задачи применяется в основном при составлении плана перевозок грузов из одних пунктов в другие, но это довольно частная проблема. Нас будет интересовать следующая задача, которая решается при помощи алгоритма решения транспортной задачи: фирма размещает заказ на производство продукции заданной номенклатуры на нескольких своих предприятиях, причем на каждом предприятии себестоимость каждого вида продукции различна. Требуется при фиксированных производственных мощностях предприятий и определенных потребностях в продукции разместить заказ таким образом, чтобы его суммарная себестоимость была минимальной. Целеуказание относительно себестоимости, таким образом, будет представлять собой неравенство  , где n – число производимых товаров, m – число предприятий, на которых можно разместить заказ,  – соответственно, себестоимость и объем выпуска i-го вида продукции на j-м предприятии.

Эта задача в приведенной постановке является классической, однако при ее решении совершенно не учитываются возможные вариации себестоимости единицы продукции, а следовательно возможность изменения оптимального решения в зависимости от ситуации, т.е. возможность оперативного управления ею. Этим и обусловливается актуальность постановки классической транспортной задачи: в зависимости от конкретного состояния внешней среды отыскать возможные оптимальные решения транспортной задачи, вероятность их оптимальности и показатели устойчивости относительно поставленной цели при каждом найденном оптимальном решении.

Видно, что постановка задачи анализа устойчивости в случае транспортной модели несколько отличается от постановки задачи в случае общей задачи линейного программирования. Во-первых, нет необходимости находить координаты и вероятность оптимальности каждого возможного оптимального плана, т.к. а) это представляет серьезные технические сложности из-за большой размерности даже самых простых транспортных задач* и б) в этом нет необходимости, поскольку структура транспортной задачи, как правило, такова, что ряд оптимальных планов почти полностью определяют множество возможных управлений в будущих периодах, а большинство имеют пренебрежимо малую вероятность. Во-вторых, нет необходимости находить устойчивость относительно поставленной цели для производственной системы в целом, т.к. если в случае рассматриваемой выше ЗЛП управлять объемами и ассортиментом выпускаемой продукции возможно, поэтому за анализируемый период на предприятии может смениться несколько оптимальных планов выпуска, то в данном случае заказ размещается единожды и вполне определенный, а фактическая себестоимость выясняется только после выполнения заказа, что, кстати, и обусловливает стохастическую природу задачи о размещении заказа.

Как и в случае с классической ЗЛП, будем отталкиваться от традиционного способа решения транспортной задачи в ее обычной постановке. Традиционный способ решения транспортной задачи, метод потенциалов, позволяет за конечное число итераций найти такой план перевозки грузов или размещения заказа, при котором его суммарная стоимость будет минимальной при фиксированных значениях параметров задачи. Метод анализа устойчивости оптимального решения транспортной задачи, а значит и анализа устойчивости относительно поставленной цели моделируемой системы в целом, состоит в исследовании полученных оценок для незаполненных клеток матрицы задачи на неотрицательность: задав параметры задачи случайными величинами, варьирующими в определенных интервалах, т.е. записав  вместо  , по известному правилу вычисляют потенциалы, которые являются уже не числами, а функциями от отклонений параметров задачи от расчетных значений. Далее вычисляют оценки незаполненных ячеек, которые, очевидно, также являются функциями от  . Область, заданная в виде системы условий неотрицательности оценок незаполненных ячеек, будет областью устойчивости определенного оптимального плана. Для отыскания показателя устойчивости оптимального плана нужно проинтегрировать плотность совместного распределения значений отклонений параметров удельной себестоимости,  , по области цели, воспользовавшись формулами (5.5), (5.6).

При анализе устойчивости оптимального решения транспортной задачи удается значительно оптимизировать процедуру поиска другого возможного оптимального решения. В отличие от анализа устойчивости ЗЛП, где выбор первого варианта оптимального плана произволен, транспортную задачу удобно решать, начиная с анализа устойчивости базового решения, полученного без учета вариаций параметров задачи. Задав случайные отклонения каждой из удельных себестоимостей,  , вычислив потенциалы и получив оценки незаполненных клеток, получаем систему неравенств  , где правая часть k-го неравенства – это оценка k-й незаполненной клетки. Эта система неравенств характеризует область устойчивости базового решения. Преобразовав ее к виду  , находим вероятность оптимальности базового решения по формулам (5.5), (5.6):

               (5.13)

где  – области определения соответствующих параметров отклонений,   – плотности их распределения.

Базовое решение ЗЛП, к которой относится и транспортная задача, наиболее устойчиво. После нахождения его устойчивости целесообразно перейти к следующему по значению устойчивости решению транспортной задачи. Условия устойчивости базового решения заключаются в одновременной неотрицательности оценок незаполненных ячеек. Если хотя бы одна оценка отрицательна, структура найденного решения меняется: в соответствующую ячейку, по правилу цикла, переходит определенное количество груза (объем заказа) из других ячеек, тем самым найденный ранее план меняется. Следовательно, для того чтобы найти следующее за базовым по устойчивости решение, нужно отыскать незаполненную ячейку, условие неотрицательности оценки для которой выполняется с наименьшей вероятностью, и изменить базовое решение, переместив в данную ячейку допустимое количество груза по правилу цикла. Для вновь полученного решения необходимо проделать то же самое, и если в результате мы вернемся к базовому решению, то берется другое условие его устойчивости из полученной системы, выполняющееся с наименьшей вероятностью после условия, взятого ранее, и выполняются те же самые действия для соответствующей ему ячейки. Процедура выполняется до тех пор, пока суммарная вероятность оптимальности найденных планов не будет достаточно для практических целей близкой к единице.

Применение анализа устойчивости позволяет не только получить оценки вероятностей достижения поставленной цели при выборе различных альтернатив, но и оптимизировать деятельность организации в краткосрочном и среднесрочном периодах. Постановка и решение некоторых задач оптимизации по критерию устойчивости относительно поставленной цели приведены в следующей части работы.


* Отметим, что критерий в данном случае не обязательно совпадает с параметрами целеуказания, но обязательно является показателем эффективности оперативного управления.

* Для простоты вычислений целеуказание производится без учета налогов.

* В теории линейного программирования доказывается, что при оптимальном плане заполненными оказываются n+m-1 ячеек, остальные пусты. Таким образом, число возможных оптимальных планов составляет . Если, например, имеется 3 предприятия и 3 вида продукции, то число возможных оптимальных планов данной задачи составит 126.

Предыдущая страница | Оглавление | Следующая страница



Защита от автоматического заполнения   Введите символы с картинки*