А.И. Орлов       
Основы теории принятия решениий       
Учебное пособие. Москва, 2002.

5. Методы решения задач линейного программирования
    

Симплекс-метод. Этот один из первых специализированных методов оптимизации, нацеленный на решение задач линейного программирования, в то время как методы простого и направленного перебора могут быть применены для решения практически любой задачи оптимизации. Он был предложен американцем Г. Данцигом в 1951 г. Симплекс-метод состоит в продвижении по выпуклому многограннику ограничений от вершины к вершине, при котором на каждом шаге значение целевой функции улучшается до тех пор, пока не будет достигнут оптимум. Разберем пример со стр.208 книги [3].

Рассмотрим задачу линейного программирования, сформулированную выше при рассмотрении оптимизации номенклатуры и объемов выпуска:

F = 15 Х1 + 12 Х2 + 14 Х3 → max .

Х1 / 200 + Х2 / 300 + Х3 / 120 ≤ 100 ,

Х1 / 300 + Х2 / 100 + Х3 / 100 ≤ 100 ,

Х3 / 80 ≤ 100 .

Неотрицательность переменных не будем специально указывать, поскольку в задачах линейного программирования это предположение всегда принимается.

В соответствии с симплекс-методом введем т.н. "свободные переменные" Х4 , Х5 , Х6 , соответствующие недоиспользованным мощностям, т.е. перейдем к системе уравнений:

Х1 / 200 + Х2 / 300 + Х3 / 120 + Х4 = 100 ,

Х1 / 300 + Х2 / 100 + Х3 / 100 + Х5 = 100 ,

Х3 / 80 + Х6 = 100 ,

15 Х1 + 12 Х2 + 14 Х3 = F .

У этой системы имеется очевидное решение, соответствующее вершине многогранника допустимых значений переменных:

Х1 = Х2 = Х3 = 0, Х4 = Х5 = Х6 = 100, F = 0.

В терминах исходной задачи это значит, что ничего не надо выпускать. Такое решение приемлемо только на период летних отпусков.

Выбираем переменную, которая входит в целевую функцию F с самым большим положительным коэффициентом. Это Х1 .

Сравниваем частные от деления свободных членов в первых трех уравнениях на коэффициенты при только что выбранной переменной Х1:

100 / (1/200) = 20000, 100 / (1/300) =30000, 100/0 = + ∞ .

Выбираем строку, которой соответствует минимальное из всех положительных отношений. В рассматриваемом примере - это первая строка, которой соответствует отношение 20000.

Умножим первую строку на 200, чтобы получить Х1 с единичным коэффициентом:

Х1 + 2/3 Х2 + 2/1,2 Х3 + 200 Х4 = 20000 .

Затем умножим вновь полученную строку на (-1/300) и сложим со второй строкой, получим

7/900 Х2 + 4/900 Х3 - 2/3 Х4 + Х5 = 100/3.

Ту же преобразованную первую строку умножим на (-15) и сложим со строкой, в правой части которой стоит F, получим:

2 Х2 - 11 Х3 - 3000 Х4 = F - 300000.

В результате система уравнений преобразуется к виду, в котором переменная Х1 входит только в первое уравнение:

Х1 + 2/3 Х2 + 2/1,2 Х3 + 200 Х4 = 20000 ,

7/900 Х2 + 4/900 Х3 - 2/3 Х4 + Х5 = 100/3,

Х3 / 80 + Х6 = 100 ,

2 Х2 - 11 Х3 - 3000 Х4 = F - 300000.

Очевидно, у новой системы имеется улучшенное по сравнению с исходным решение, соответствующее вершине в шестимерном пространстве:

Х1 = 20000, Х2 = Х3 = Х4 = 0, Х5 = 100/3, Х6 = 100, F = 300000.

В терминах исходной задачи это значит, что надо выпускать только кухни. Такое решение приемлемо, если допустимо выпускать только один вид продукции.

Повторим описанную выше операцию. В строке с F имеется еще один положительный коэффициент - при Х2 (если бы положительных коэффициентов было несколько - мы взяли бы максимальный из них). На основе коэффициентов при Х2 (а не при Х1, как в первый раз) образуем частные от деления соответствующих свободных членов на эти коэффициенты:

20000 / (2/3) = 30000, (100/3) / (7/900) = 30000/7, 100/0 = + ∞.

Таким образом, нужно выбрать вторую строку, для которой имеем наименьшее положительное отношение 30000/7. Вторую строку умножим на 900/7 (чтобы коэффициент при Х2 равнялся 1). Затем добавим обновленную строку ко всем строкам, содержащим Х2 , предварительно умножив их на подходящие числа, т.е. такие, чтобы все коэффициенты при Х2 стали бы после сложения равны 0, за исключением коэффициента второй строки, который уже стал равняться 1. Получим систему уравнений:

Х1 + 9/7 Х3 + 1800/7 Х4 - 600/7 Х5 = 120000/7 ,

Х2 + 4/7 Х3 - 600/7 Х4 + 900/7Х5 = 30000/7,

Х3 / 80 + Х6 = 100 ,

- 85/7 Х3 - 19800/7 Х4 - 1800/7 Х5 = F - 308571.

Поскольку все переменные неотрицательны, то из последнего уравнения следует, что прибыль F достигает своего максимального значения, равного 308571, при Х3 = Х4 = Х5 = 0. Из остальных уравнений следует, что при этом Х1 = 120000/7 = 17143, Х2 = 30000/7 = 4286, Х6 = 100. Поскольку в строке с F не осталось ни одного положительного коэффициента при переменных, то алгоритм симплекс-метода закончил свою работу, оптимальное решение найдено.

Практические рекомендации таковы: надо выпустить 17143 кухни, вчетверо меньше, т.е. 4286 кофемолок, самоваров не выпускать вообще. При этом прибыль будет максимальной и равной 308571. Все производственное оборудование будет полностью загружено, за исключением линии по сборке самоваров.

Предыдущая страница | Оглавление | Следующая страница



Защита от автоматического заполнения   Введите символы с картинки*