Орлов А.И. Нечисловая статистика
М.: МЗ-Пресс, 2004.    
 

Глава 2. Статистические методы в пространствах произвольной природы

2.6. Статистики интегрального типа

В прикладной статистике широко используются статистики типа омега-квадрат и типа Колмогорова-Смирнова [6]. Они применяются для проверки согласия с фиксированным распределением или семейством распределений, для проверки однородности двух выборок, симметрии распределения относительно 0, при оценивании условной плотности и регрессии в пространствах произвольной природы и т.д.

Статистики интегрального типа и их асимптотика. Рассмотрим статистики интегрального типа

, (1)

где Х – некоторое пространство, по которому происходит интегрирование (например, X = [0; 1], X = R1 или X = Rk). Здесь {α} – направленное множество, переход к пределу по которому обозначен как α→∞ (см. приложение 1). Случайные функции fα: XЧΩ → Y обычно принимают значения, являющиеся числами. Но иногда рассматривают и постановки, в которых У = Rk или У – банахово пространство (т.е. полное нормированное пространство [27]). Наконец, Fα(x,ω) – случайная функция распределения или случайная вероятностная мера; в последнем случае используют также обозначение dFα(x,ω)= Fα(dx,ω).

Предполагаются выполненными необходимые для корректности изложения внутриматематические предположения измеримости, например, сформулированные в [28, 29].

Пример 1. Рассмотрим критерий Лемана – Розенблатта, т.е. критерий типа омега-квадрат для проверки однородности двух независимых выборок [6]. Его статистика имеет вид:

LR = Fm(x) – Gn(x))2dHm+n(x) ,

где Fm(x)эмпирическая функция распределения, построенная по первой выборке объема m, Gn(x)) - эмпирическая функция распределения, построенная по второй выборке объема n, а Hm+n(x)эмпирическая функция распределения, построенная по объединенной выборке объема m+n. Легко видеть, что

Hm+n(x) = Fm(x) + Gn(x).

Ясно, что статистика LR имеет вид (1). При этом х – действительное число, Х = У = R1, в роли α выступает пара (m, n), и α→∞ означает, что min(m, n) → ∞. Далее,

fα(x,ω) =.

Наконец, Fα(x,ω) = Hm+n(x).

Теперь обсудим асимптотическое поведение функций fα(x,ω) и Fα(x,ω), с помощью которых определяется статистика Лемана – Розенблатта LR. Ограничимся случаем, когда справедлива гипотеза однородности, т.е. совпадают функции распределения, соответствующие генеральным совокупностям, из которых взяты выборки. Их общую функцию распределения обозначим F(x). Она предполагается непрерывной. Введем в рассмотрение выборочные процессы

.

Нетрудно проверить, что

.

Сделаем замену переменной t = F(x). Тогда выборочные процессы переходят в соответствующие эмпирические процессы (см. приложение 1):

.

Конечномерные распределения этого процесса, т.е. распределения случайных векторов

для всех возможных наборов (t1, t2, … , tk), сходятся к конечномерным распределениям квадрата броуновского моста ξ2(t). В соответствии с разделом П-5 приложения 1 рассматриваемая сходимость по распределению обозначается так:

. (2)

Нетрудно видеть, что при любом х

Fα(x,ω) = Hm+n(x) → F(x)

при α→∞ (сходимость по вероятности). С помощью замены переменной t = F(x) получаем, что

Fα(F-1(t),ω) = Hm+n(F-1(t)) → t (3)

при α→∞. Из соотношений (2) и (3) хотелось бы сделать вывод, что в случае статистики Лемана - Розенблатта типа омега-квадрат

,

т.е. предельным распределением этой статистики является классическое распределение [30], найденное как предельное для одновыборочной статистики критерия согласия омега-квадрат, известного также как критерий Крамера - Мизеса - Смирнова.

Действительно, сформулированное утверждение справедливо. Однако доказательство нетривиально.

Так, может показаться очевидным следующее утверждение.

Утверждение 1. Пусть f: [0; 1] → R1 – ограниченная функция, Gn(x) и G(x) – функции распределения, Gn(0) =G(0) =0, Gn(1) = G(1) = 1, причем Gn(x) → G(x) при всех х. Тогда

. (4)

Это утверждение неверно (ср. [31, с.42]). Действительно, пусть f(x) = 1, если х рационально, и f(x) = 0, если хиррационально, G(x) =x, а Gn(x) имеет скачки величиной 2-n в точках m/2n, m = 1, 2, … , 2n при всех n =1, 2, … ТогдаGn(x) → G(x) при всех х, однако

при всех n =1, 2, … Следовательно, вопреки сформулированному выше утверждению 1,

,

т.е. соотношение (4) неверно.

Итак, сформулируем проблему. Пусть известно, что последовательность случайных функций fα(x, ω) сходится по распределению при α→∞ к случайной функции f(x,ω). Пусть последовательность случайных мер Fα(A,ω), определенных на множествах А из достаточно обширного семейства, сходится по распределению к вероятностной мереF(A) при α→∞. Если речь идет о конечномерном пространстве и меры задаются функциями распределения, то сходимость Fα(х,ω) к F(х) должна иметь место во всех точках непрерывности F(х). В каких случаях можно утверждать, что при α→∞ справедлив предельный переход

?

Выше показано, что, например, ограниченности fα(x, ω) для этого недостаточно.

Метод аппроксимации ступенчатыми функциями. Рассмотрим общий метод, позволяющий получить предельные распределения не только для статистик интегрального типа, но и для других статистических критериев, например, для критериев типа Колмогорова. Пусть T = {С1, С2, … , Сk} – разбиение пространства Х на непересекающиеся подмножества. Пусть в каждом элементе Сj разбиения T выделена точка xj, j = 1, 2, … , k. На множестве функций f: XY введем оператор AT: если xСj, то

ATf(x) = f(xj), j = 1, 2, … . k. (5)

Тогда ATf – аппроксимация функции f ступенчатыми (кусочно-постоянными) функциями.

Пусть fα(x,ω) – последовательность случайных функций на Х, а К(∙) – функционал на множестве всех возможных их траекторий как функций от х. Для изучения распределения К(fα) методом аппроксимации ступенчатыми функциями используют разложение

К(fα) = К(АТfα) + {К(fα) - К(АТfα)}. (6)

Согласно (5) распределение первого слагаемого в (6) определяется конечномерным распределением случайного элемента, а именно, распределением вектора

(fα(x1,ω), fα(x2,ω), … fα(xk,ω)). (7)

В обычных постановках предельной теории классических непараметрических критериев распределение вектора (7) сходится при α→∞ к соответствующему конечномерному распределению предельной случайной функции f(x,ω), т.е. к распределению случайного вектора

(f(x1,ω), f(x2,ω), … f(xk,ω)). (8)

В соответствии с теорией наследования сходимости (приложение 1) при слабых условиях на функционал К(∙) из сходимости по распределению вектора (7) к вектору (8) следует сходимость по распределению К(АТfα) к К(АТf).

Используя аналогичное (6) разложение

К(f) = К(АТf) + {К(f) - К(АТf)}, (9)

можно устанавливать сходимость по распределению К(fα) к К(f) при α→∞ в два этапа: сначала выбрать разбиение Ттак, чтобы вторые слагаемые в правых частях соотношений (6) и (9) были малы, а затем при фиксированном оператореАТ воспользоваться сходимостью по распределению К(АТfα) к К(АТf).

Рассмотрим простой пример применения метода аппроксимации ступенчатыми функциями.

Обобщение теоремы Хелли. Пусть f: [0; 1] → R1 – измеримая функция, Fn(x) – функции распределений, сосредоточенных на отрезке [0; 1]. Пусть Fn(x) сходятся в основном к функции распределения F(x), т.е.

(10)

для всех х, являющихся точками непрерывности F(x).

Утверждение 2. Если f(x) – непрерывная функция, то

(11)

(рассматриваются интегралы Лебега-Стилтьеса).

Утверждение 2 известно в литературе как первая теорема Хелли [27, с.344-346], вторая теорема Хелли [32, с.174-175], лемма Хелли-Брея [33, с.193-194].

Естественно поставить вопрос: при каких f из (10) следует (11)? Необходимо ввести условия и на Fn: если FnF, то соотношение (11) верно для любой измеримой функции f, для которой интеграл в (11) существует. Поэтому рассмотрим следующую постановку.

Постановка 1. Пусть функция f такова, что для любой последовательности Fn, удовлетворяющей (10), справедливо (11). Что можно сказать о функции f?

В работах [28, 29] найдены следующие необходимые и достаточные условия на функцию f.

Теорема 1. Пусть ограниченная на [0; 1] функция f интегрируема по Риману-Стилтьесу по функции распределения F(x). Тогда для любой последовательности функций распределения Fn, сходящейся в основном к F, имеет место предельный переход (11).

Теорема 2. Пусть функция f не интегрируема по Риману-Стилтьесу по функции распределения F(x). Тогдасуществует последовательность функций распределения Fn, сходящаяся в основном к F, для которой соотношение (11) не выполнено.

Теоремы 1 и 2 в совокупности дают необходимые и достаточные условия для f в постановке 1. А именно, необходимо и достаточно, чтобы ограниченная на [0; 1] функция f была интегрируема по Риману-Стилтьесу по F.

Напомним определение интегрируемости функции f по Риману-Стилтьесу по функции распределения F [27, с.341]. Рассмотрим разбиение T = {С1, С2, … , Сk}, где

Сi = [yi-1, yi), i = 1, 2, …, m – 1, Сm = [ym-1, ym], (12)

0 = y0 < y1 < y2 <…< ym = 1.

Выберем в Сi произвольную точку xi, i = 1, 2, …, m, и составим сумму

.

Если при max(yi – yi-1) → 0 эти суммы стремятся к некоторому пределу (не зависящему ни от способа дробления отрезка [0; 1], ни от выбора точек xi в каждом из элементов разбиения), то этот предел называется интегралом Римана-Стилтьеса от функции f по функции F по отрезку [0; 1] и обозначается символом, приведенным в правой части равенства (11).

Рассмотрим суммы Дарбу-Стилтьеса

где

.

Ясно, что

SH(T) < S(T) < SB(T).

Необходимым и достаточным условием интегрируемости по Риману-Стилтьесу является следующее: для любой последовательности разбиений Tk, k = 1, 2, 3, … вида (12) такой, что max(yi – yi-1) → 0 при k→∞, имеем

. (13)

Напомним, что согласно разделу П-3 приложения 1 колебанием δ(f, B) функции f на множестве B называется δ(f, B) = sup{|f(x) – f(y)|, xB, yB}. Поскольку

δ(f, Сi) = Mi – mi,

то условие (13) можно записать в виде

. (14)

Условие (14), допускающее обобщение с Х = [0; 1] и f: [0; 1] → R1 на X и f более общего вида, и будем использовать при доказательстве теорем 1 и 2.

Доказательство теоремы 1. Согласно методу аппроксимации ступенчатыми функциями рассмотрим операторАТ. Как легко проверить, имеет место разложение

. (15)

Поскольку

|f(x) - ATf(x)| < δ(f, Xi), xСi,

то первое слагаемое в правой части (15) не превосходит

, (16)

а второе не превосходит

.

Согласно определению оператора АТ третье слагаемое в (15) имеет вид

.

Очевидно, оно не превосходит по модулю

(здесь используется ограниченность f на X).

Согласно (16) первое слагаемое в правой части (15) не превосходит

.

Поскольку

,

то первое слагаемое в правой части (15) не превосходит

.

Из оценок, относящихся к трем слагаемым в разложении (15), следует, что

. (17)

Используя оценку (17), докажем, что βn → 0 при n → ∞. Пусть дано ε > 0. Согласно условию интегрируемости функции f по Риману-Стилтьесу, т.е. условию (14), можно указать разбиение T = T(ε) такое, что

, (18)

и в точках yi, i = 1, 2, …, m - 1 (см. (12)), функция F непрерывна.

Поскольку

Fn(Xi) = Fn(yi) - Fn(yi-1),

то из (10) следует, что существует число n = n(ε) такое, что при n > n(ε) справедливо неравенство

. (19)

Из (17), (18) и (19) следует, что при n > n(ε) справедливо неравенство

,

что и требовалось доказать.

Обсудим условие ограниченности f. Если оно не выполнено, то из (10) не всегда следует (11).

Пример 2. Пусть f(x) = 1/x при x > 0 и f(0)=0. Пусть F(0,5) = 0, т.е. предельное распределение сосредоточено на [1/2; 1]. Пусть распределение Fn на [0; Ѕ) имеет единственный атом в точке x = 1/n величиной n-1/2, а на [1/2; 1] справедливо (10). Тогда по причинам, изложенным при доказательстве теоремы 1,

,

однако

,

т.е. соотношение (11) не выполнено.

Условие ограниченности подынтегральной функции f можно заменить, как это сделано, например, в [28], на условие строгого возрастания функции распределения F.

Лемма. Пусть функции распределения F всюду строго возрастает, т.е. из x1 < x2 вытекает F(x1) < F(x2). Пусть функция f интегрируема по Риману-Стилтьесу по F, т.е. выполнено (14). Тогда функция f ограничена.

Доказательство. Рассмотрим точки 0 = y0 < y1 < y2 <…< y2m = 1 и два разбиения

.

Тогда для любых двух точек х и х′ можно указать конечную последовательность точек x1 = x, x2, x3, …, xs, xs+1 = x′ такую, что любые две соседние точки xi, xi+1, i = 1, 2, …, s, одновременно принадлежат некоторому элементу Ciразбиения T1 или разбиения T2, причем СiСj при ij. Действительно, пусть . Пусть для определенности q > p. Тогда можно положить x2 = yp+1, x3 = yp+2, …, xs = yq. Поскольку среди элементов разбиенийТ1 и Т2 есть С1 = [yp; yp+2), то . Далее, , и т.д.

Из указанных выше свойств последовательности x1 = x, x2, x3, …, xs, xs+1 = x′ следует, что

.

Пусть теперь число max(yi – yi-2) настолько мало, что согласно (14)

.

Тогда согласно двум последним соотношениям

,

что и доказывает лемму.

Доказательство теоремы 2. Пусть условие (14) не выполнено, т.е. существуют число γ > 0 и последовательность разбиений Tn, n = 1, 2, …, такие, что max(yi – yi-1) → 0 при n→∞ и при всех n

. (20)

Для доказательства теоремы построим две последовательности функций распределения F1n и F2n, n = 1, 2, …, для которых выполнено (10), но последовательность

не стремится к 0 при n → ∞. Тогда (11) не выполнено хотя бы для одной из последовательностей F1n и F2n.

Для любого С – элемента некоторого разбиения Т – можно указать, как вытекает из определения δ(f, C), точкиx1(C) и x2(C) такие, что

f (x1(C)) - f(x2(C)) > Ѕ δ(f, C). (21)

Построим F1n и F2n следующим образом. Пусть F1n(С) = F2n(С) = F(С) для любого С из Tn. При этом F1nимеет в С один атом в точке x1(C) величиной F(С), а F2n имеет в С также один атом в точке x2(C) той же величиныF(С). Другими словами, распределение F1n в С сосредоточено в одной точке, а именно, в x1(C), а распределение F2nсосредоточено в x2(C). Тогда

. (22)

Из (20), (21) и (22) следует, что

.

Остается показать, что для последовательностей функций распределения F1n и F2n выполнено (10). Пусть х – точка непрерывности F. Пусть

y1(x, T) = max{ykn: ykn < x}, y2(x, T) = min{ ykn: ykn > x},

где ykn – точки, определяющие разбиения Tn согласно (12). В соответствии с определением Fin

Fin(yj(x, Tn))= F(yj(x, Tn)), i = 1, 2, j = 1, 2,

а потому

|Fin(x) – F(x)| < F(y2(x, Tn)) - F(y1(x, Tn)), i = 1, 2.

В силу условия max(ykn – y(k-1)n) → 0 и непрерывности F в точке x правая часть последнего соотношения стремится к 0 при n → ∞, что и заканчивает доказательство теоремы 2.

Теоремы 1 и 2 демонстрируют основные идеи предельной теории статистик интегрального типа и непараметрических критериев в целом. Как показывают эти теоремы, основную роль в рассматриваемой теории играет предельное соотношение (14). Отметим, что если δ(f, Tn) → 0 при n → ∞, то (14) справедливо, но, вообще говоря, не наоборот. Естественно возникает еще ряд постановок. Пусть (14) выполнено для f1 и f2. При каких функциях h это соотношение выполнено для h(x, f1(x), f2(x))? В прикладной статистике вместо f(x) рассматривают fα(x, ω) и f(x, ω), а вместо интегрирования по функциям распределения Fn(x) – интегрирование по случайным мерам Fα(ω). Как меняются формулировки в связи с такой заменой? В связи со слабой сходимостью (т.е. сходимостью по распределению) ATfα к AT и переходом от fα(x, ω) к hα(x, f(x, ω), f(x, ω)) возникает следующая постановка. Пусть κα слабо сходится к κ при α→∞. Когда распределения gαα) сближаются с распределениями gα(κ)? Полным ответом на последний вопрос являются необходимые и достаточные условия наследования сходимости. Они приведены в приложении 1.

Основные результаты. Наиболее общая теорема типа теоремы 1 выглядит так [29].

Теорема 3. Пусть существует последовательность разбиений Tn, n = 1, 2, …, такая, что при n →∞ и α→∞

. (23)

Пусть для любого С, входящего хотя бы в одно из разбиений Tn,

Fα(C, ω) → F(C) (24)

при α→∞ (сходимость по вероятности). Пусть fα асимптотически ограничены по вероятности при α→∞. Тогда

(25)

при α→∞ (сходимость по вероятности).

Как известно, полное сепарабельное метрическое пространство называется польским. Это понятие понадобится для формулировки аналога теоремы 2.

Теорема 4. Пусть Х – польское пространство, У конечномерно, существует измельчающаяся последовательность Tn разбиений, для которой соотношение (23) не выполнено. Тогда существует удовлетворяющая (24) последовательность Fα, для которой соотношение (25) неверно, хотя Fα слабо сходится к F при α→∞.

Условие (23) естественно назвать условием римановости, поскольку в случае, рассмотренном в теореме 1, оно является условием интегрируемости по Риману-Стилтьесу. Рассмотрим наследуемость римановости при переходе отf1α(x, ω) со значениями в У1 и f2α(x, ω) со значениями в У2, удовлетворяющих (23), к hα(x, f(x, ω), f(x, ω)) со значениями в У3.

Положим

,

где ||∙||k – норма (т.е. длина вектора) в пространстве Yk, k = 1, 2. Рассмотрим также множества

и функции

.

Наконец, понадобится измеритель колеблемости

и множество

.

Теорема 5. Пусть функции hα асимптотически (при α→∞) ограничены на множестве Z(a) при любом положительном a. Пусть функции f и f асимптотически ограничены по вероятности и удовлетворяют условию (23). Пусть для участвующей в (23) последовательности Tn

c(hα, Tn, a, ε) → 0 (26)

при α→∞, n→∞, ε→ 0 и любом положительном a. Тогда функции f3α(x, ω) = hα(x, f(x, ω), f(x, ω)) удовлетворяют условию (23) и асимптотически ограничены по вероятности.

Теорема 6. Пусть условие (26) не выполнено для hα. Тогда существуют детерминированные ограниченные функции f и f такие, что соотношение (23) выполнено для f и f и не выполнено для f3α.

Пример 3. Пусть X = [0; 1]k, пространства Y1 и Y2 конечномерны, функция hαh(x, y1, y2) непрерывна. Тогда условие (26) выполнено.

С помощью теорем 3 и 5 и результатов о наследовании сходимости можно изучить асимптотическое поведение статистик интегрального типа

со значениями в банаховом пространстве У.

Теорема 7. Пусть для некоторой последовательности Tn разбиений Х справедливы соотношения (23) для f иfи (24) для Fα. Пусть последовательность функций hα удовлетворяет условию в теореме 5, конечномерные распределения (f(x, ω), f(x, ω)) слабо сходятся к конечномерным распределениям (f1(x, ω), f2(x, ω)), причем для f1и f2 справедливо соотношение (23). Тогда

,

где L – расстояние Прохорова (см. раздел П-3 приложения 1),

.

Теорема 7 дает общий метод получения асимптотических распределений статистик интегрального типа. Важно, что соотношение (23) выполнено для эмпирического процесса и для процессов, связанных с оцениванием параметров при проверке согласия [28].

Один из выводов общей теории состоит в том, что в качестве Fα можно использовать практически любую состоятельную оценку истинной функции распределения. Этот вывод использовался при построении критерия типа омега-квадрат для проверки симметрии распределения относительно 0 и обнаружения различий в связанных выборках (см. ниже).

Асимптотическое поведение критериев типа Колмогорова может быть получено с помощью описанного выше метода аппроксимации ступенчатыми функциями. Этот метод не требует обращения к теории сходимости вероятностных мер в функциональных пространствах. Для критериев Колмогорова и Смирнова достаточно использовать лишь свойства эмпирического процесса и броуновского моста. В случае проверки согласия добавляется необходимость изучения еще одного случайного процесса. Он является разностью между двумя функциями распределения. Одна - функция распределения элементов выборки. Вторая - случайный элемент параметрического семейства распределений, полученный путем подстановки оценок параметров вместо их истинных значений.

Статистика интегрального типа для проверки симметрии распределения. В прикладной статистике часто возникает необходимость проверки гипотезы о симметрии распределения относительно 0. Так, при проверке однородности связанных выборок необходимость проверки этой гипотезы основана на следующем факте [6]. Если случайные величины Х и Y независимы и одинаково распределены, то для функции распределения H(x)=P(Z<x) случайной величины Z = X – Y выполнено, как нетрудно видеть, соотношение

H(-x)=1 - H(x).

Это соотношение означает симметрию функции распределения относительно 0. Плотность такой функции распределения является четной функцией, ее значения в точках х и () совпадают. Проверка гипотезы однородности связанных выборок в наиболее общем случае сводится к проверке симметрии функции распределения разности Z = X– Y относительно 0.

Рассмотрим методы проверки этой гипотезы. Сначала обсудим, какого типа отклонения от гипотезы симметрии можно ожидать при альтернативных гипотезах?

Рассмотрим сначала альтернативу сдвига

В этом случае распределение Z при альтернативе отличается сдвигом от симметричного относительно 0. Для проверки гипотезы однородности может быть использован критерий знаковых рангов, разработанный Вилкоксоном (см., например, справочник [34, с.46-53]).

Альтернативная гипотеза общего вида записывается как

при некотором х0 . Таким образом, проверке подлежит гипотеза симметрии относительно 0, которую можно переписать в виде

H(x) + H(-x) - 1 = 0 .

Для построенной по выборке Zj = Xj - Yj , j = 1,2,…,n, эмпирической функции распределения Hn(x) последнее соотношение выполнено лишь приближенно:

Как измерять отличие от 0? По тем же соображениям, что и в предыдущем пункте, целесообразно использовать статистику типа омега-квадрат. Соответствующий критерий был предложен в работе [35]. Он имеет вид

(27)

Представим эту статистику в интегральном виде. Рассмотрим выборочный процесс

.

При справедливости нулевой гипотезы

.

Положим

.

Тогда, как легко видеть, статистика, заданная формулой (27), представляется в виде

.

Таким образом, асимптотическое поведение этой статистики может быть изучено с помощью описанной выше предельной теории статистик интегрального типа. Исторически ход мысли был обратным - сначала была построена и изучена статистика (27), а потом путем обобщения разработанных при анализе конкретной статистики методов исследования была построена общая теория, включающая в себя ряд необходимых и достаточных условий.

Критерий проверки гипотезы симметрии распределения относительно 0 с помощью статистики (27) является состоятельным, т.е. если функция распределения элементов выборки не удовлетворяет рассматриваемой гипотезе, то вероятность отклонения гипотезы стремится к 1 при росте объема выборки.

В работе [35] найдено предельное распределение этой статистики:

В табл.1 приведены критические значения статистики типа омега-квадрат для проверки симметрии распределения (и тем самым для проверки однородности связанных выборок), соответствующие наиболее распространенным значениям уровней значимости (расчеты проведены Г.В. Мартыновым; см.также [31]).

Таблица 1. Критические значения статистики для проверки симметрии распределения

Значение функции распределения

Уровень значимости

Критическое значение х статистики

0,90

0,10

1,20

0,95

0,05

1,66

0,99

0,01

2,80

Как следует из табл.1, правило принятия решений при проверке симметрии распределения (или однородности связанных выборок) в наиболее общей постановке и при уровне значимости 5% формулируется так. Вычислить статистику . Если <1,66, то принять гипотезу однородности. В противном случае - отвергнуть.

Пример. Пусть величины Zj , j=1,2,…,20, таковы:

20, 18, (-2), 34, 25, (-17), 24, 42, 16, 26,

13, (-23), 35, 21, 19, 8, 27, 11, (-5), 7.

Соответствующий вариационный ряд имеет вид:

(-23)<(-17)<(-5)<(-2)<7<8<11<13<16<18<

<19<20<21<24<25<26<27<34<35<42.

Для расчета значения статистики построим табл.2 из 7 столбцов и 20 строк, не считая заголовков столбцов (сказуемого таблицы). В первом столбце указаны номера (ранги) членов вариационного ряда, во втором - сами эти члены, в третьем - значения эмпирической функции распределения при значениях аргумента, совпадающих с членами вариационного ряда. В следующем столбце приведены члены вариационного ряда с обратным знаком, а затем указываются соответствующие значения эмпирической функции распределения. Например, поскольку минимальное наблюдаемое значение равно (-23), то Hn(x) = 0 при x < -23, а потому для членов вариационного ряда с 14-го по 20-й в пятом столбце стоит 0. В качестве другого примера рассмотрим минимальный член вариационного ряда, т.е. (-23). Меняя знак, получаем 23. Это число стоит между 13-м и 14-м членами вариационного ряда, 21<23<24. На этом интервале эмпирическая функция распределения совпадает со своим значением в левом конце, поэтому следует записать в пятом столбце значение 0,65. Остальные ячейки пятого столбца заполняются аналогично. На основе третьего и пятого столбцов элементарно заполняется шестой столбец, а затем и седьмой. Остается найти сумму значений, стоящих в седьмом столбце. Подобная таблица удобна как для ручного счета, так и при использовании электронных таблиц типа Excel.

Таблица 2. Расчет значения статистики для проверки симметрии распределения

j

Z(j)

Hn(Z(j))

- Z(j)

Hn(-Z(j))

Hn(Z(j))+Hn(-Z(j))-1

(Hn(Z(j))+Hn(-Z(j))-1)2

1

-23

0,05

23

0,65

-0,30

0,09

2

-17

0,10

17

0,45

-0,45

0,2025

3

-5

0,15

5

0,20

-0,65

0,4225

4

-2

0,20

2

0,20

-0,60

0,36

5

7

0,25

-7

0,10

-0,65

0,4225

6

8

0,30

-8

0,10

-0,60

0,36

7

11

0.35

-11

0,10

-0,55

0,3025

8

13

0,40

-13

0,10

-0,50

0,25

9

16

0,45

-16

0,10

-0,45

0,2025

10

18

0,50

-18

0,05

-0,45

0,2025

11

19

0,55

-19

0,05

-0,40

0,16

12

20

0,60

-20

0,05

-0,35

0,1225

13

21

0,65

-21

0,05

-0,30

0,09

14

24

0,70

-24

0

-0,30

0,09

15

25

0,75

-25

0

-0,25

0,0625

16

26

0,80

-26

0

-0,20

0,04

17

27

0,85

-27

0

-0,15

0,0225

18

34

0,90

-34

0

-0,10

0,01

19

35

0,95

-35

0

-0,05

0,0025

20

42

1,00

-42

0

0

0

Результаты расчетов (суммирование значений по седьмому столбцу табл.2) показывают, что значение статистики=3,055. В соответствии с табл.1 это означает, что на любом используемом в прикладных эконометрических исследованиях уровнях значимости отклоняется гипотеза симметрии распределения относительно 0 (а потому и гипотеза однородности в связанных выборках).

Предыдущая страница | Оглавление | Следующая страница



Защита от автоматического заполнения   Введите символы с картинки*